Cледом квадратной матрицы называется сумма элементов её главной диагонали. Доказать, что для любых матриц A и B таких, что имеют
смысл оба произведения AB и BA, следы матриц AB и BA совпадают

119

339

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Гуленко

Математика

4,5(50 оценок)

Пусть даны матрицы $A_{a\times b}=(a_{ij})_{a\times b}, B_{c\times d}=(b_{ij})_{c\times d}$ . Т.к. определено произведение , b=c . Т.к. определено произведение , d=a .

А значит даны матрицы $A_{a\times b}, B_{b\times a}$

Пусть $AB=C_{a\times a}=(c_{ij})_{a\times a}, BA=D_{b\times b}=(d_{ij})_{b\times b}$ .

По определению, $trC=\sum\limits_{i=1}^ac_{ii}$ . $c_{ii}$ - сумма произведений соответствующих элементов iой строки матрицы A и iого столбца матрицы B, т.е. $c_{ii}=\sum\limits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$ => $trC=\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$

Аналогично $trD=\sum\limits_{i=1}^b\sum\limits_{j=1}^ab_{ij}a_{ji}$

Т.к. пределы суммирования не зависят от переменных, то знаки суммирования можно поменять местами: $trD=\sum\limits_{i=1}^b\sum\limits_{j=1}^ab_{ij}a_{ji}=\sum\limits_{j=1}^a\sum\limits_{i=1}^bb_{ij}a_{ji}$

А теперь заметим, что, переобозначив переменные $[i\to j;j\to i]$ , получим $\sum\limits_{j=1}^a\sum\limits_{i=1}^bb_{ij}a_{ji}=\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^bb_{ji}a_{ij}=\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$ - а это и означает, что trC=trD

Ч.т.д.

ФлэшДевушка

Математика

4,4(58 оценок)

3*5=15 сантиметров получается в сумме

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.