Регистрация Спросить otvet5GPT
autosteklo777
11.07.2022 09:44
Математика
Есть ответ 👍

Многочлены Р и Q таковы, что для любого вещественного Х, Р(х^2-х+1) = Q(х^2+x+1). Докажите, что Р и Q - константы.

172
192
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

vladpin01
vladpin01
4,7(56 оценок)

Пусть не так, и Р и Q - многочлены степени не ниже 1.

P(x^2-x+1) = Q(x^2+x+1)\\ x\to x-1=x^2-x+1\to (x-1)^2-(x-1)+1=x^2-2x+1-x+1+1=x^2-3x+3, \;x^2+x+1\to(x-1)^2+x-1+1=x^2-x+1=\\ =P(x^2-3x+3) = Q(x^2-x+1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ x\to -x=x^2-x+1\to (-x)^2-(-x)+1=x^2+x+1, \;x^2+x+1\to(-1)^2+(-x)+1=x^2-x+1=\\ =P(x^2+x+1) = Q(x^2-x+1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ (1),(2)=P(x^2+x+1) = P(x^2-3x+3)

x^2+x+1=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4} - парабола с вершиной в точке (-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4}) , ветви направлены вверх.

x^2-3x+3=(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4} - парабола с вершиной в точке (\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{4}) , ветви направлены вверх.

x=2=P(7) = P(1)\\ x^2-3x+3=7=x^2-3x-4=0=x=4\\ x=4=P(21)=P(7)\\ x^2-3x+3=21=x^2-3x-18=0=x=6\\ x=6=P(43)=P(21)

Пусть подобными действиями было получено значение x=x_k0

x=x_k=P(x_k^2-3x_k+3) = P(x_k^2+x_k+1)\\ x^2-3x+3=x_k^2+x_k+1=x^2-3x+(-x_k^2-x_k+2)=0=x=\dfrac{3\pm\sqrt{4x_k^2+4x_k+1}}{2}=\dfrac{3\pm(2x_k+1)}{2}

Выберем x_{k+1}=\dfrac{3+(2x_k+1)}{2}=x_k+2x_k . Получим, что P(x_{k+1}^2+x_{k+1}+1)=P(x_{k+1}^2-3x_{k+1}+3)

x_{k+1}^2-3x_{k+1}+3=(x_k+2)^2-3(x_{k}+2)+3=x_k^2+4x_k+4-3x_k-6+3=x_k^2+x_k+1=P(x_{k+1}^2-3x_{k+1}+3) = P(x_k^2+x_k+1)=\\ =P(x_{k+1}^2+x_{k+1}+1)=P(x_k^2+x_k+1)

Т.е. построена монотонно возрастающая последовательность \{x_k\} такая, что P(x_k^2+x_k+1)=C\;\forall k\in N_0, C-Const . Очевидно, т.к. последовательность не ограничена сверху, то в ней бесконечное число членов => многочлен P(x) принимает значение C в бесконечном числе точек => тогда он будет иметь вид P(x)=Q(x)(\prod\limits_{k=0}^\infty (x-(x_k^2+x_k+1))+C), а значит его степень бесконечна, что невозможно.

А тогда P(x)=C, откуда P(x^2-x+1) = C , следовательно Q(x^2+x+1)=C. Т.е. на множестве \{x|x=t^2+t+1,t\in R\}=[\dfrac{3}{4};+\infty) с бесконечным числом элементов многочлен Q(x) принимает значение C. А тогда, по аналогии с предыдущим пунктом, Q(x)=C

Ч.т.д.

аллалесниченко
аллалесниченко
4,4(46 оценок)
Легко 123321

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS