Решить уравнение: sinx-cosx=sin2x-1/2

sinx + cos x + sin2x = 1

sin x + cos x + 2sinx cosx -1=0

sin x + cos x +2sinx cosx -(sin²x+cos²x)=0

(sin x + cos x) + 2sinx cos x - (sin²x+cos²x+2sinx cosx -2sinx cos x)=0

(sin x+ cos x)+2sinx cosx - (sin x + cos x)² +2sinx cosx=0

(sin x + cos x)² + (sinx + cosx)+4sinxcosx=0

Пусть sin x + cos x = t причем (-√2 ≤ t ≤ √2), тогда возведем оба части до квадрата, имеем

(sin x + cos x)² = t²

1+2sinx cosx = t²

2sinxcosx = t²-1

Заменяем

t²+t+2*(t²-1)=0

t²+t+2t²-2=0

3t²+t-2=0

D=1+24 = 25

t1=(-1+5)/6=2/3

t2=(-1-5)/6 = -1

Возвращаем к замене

\begin{gathered}\sin x+\cos =-1\\ \sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4} )=-1 \\ \sin(x+ \frac{\pi}{4} )=- \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x+ \frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\\ x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{4}- \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\end{gathered}

sinx+cos=−1

2

sin(x+

4

π

)=−1

sin(x+

4

π

)=−

2

1

x+

4

π

=(−1)

n+1

4

π

+πn,n∈Z

x=(−1)

n+1

4

π

−

4

π

+πn,n∈Z

\begin{gathered}\sin x+\cos x= \frac{2}{3} \\ \sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4})= \frac{2}{3} \\ \sin (x+ \frac{\pi}{4})= \frac{ \sqrt{2} }{3} \\ x=(-1)^n\arcsin( \frac{ \sqrt{2} }{3} )- \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\end{gathered}

sinx+cosx=

3

2

2

sin(x+

4

π

)=

3

2

sin(x+

4

π

)=

3

2

x=(−1)

n

arcsin(

3

2

)−

4

π

+πn,n∈Z

1) (x+1)² (x²+2x)=12  (х²+2х+1)(х²+2х)=12  замена переменной    х²+2х=t  (t+1)·t=12t²+t-12=0d=1+48=49t=(-1-7)/2=-4      или      t=(-1+7)/2=3x²+2x=-4              или  х²+2х=3х²+2х+4=0                    x²+2x-3=0  d=4-16< 0                    d=4+12=16уравнение не         x=(-2-4)/2=-3    или    х=(-2+4)/2=1имеет корнейответ. -3 ; 13)   (х²-4x+1)(x²-4x+2)=12 замена переменной    х²-4х+1=t  t·(t+1)=12t²+t-12=0d=1+48=49t=(-1-7)/2=-4      или      t=(-1+7)/2=3x²-4x+1=-4              или  х²-4х+1=3х²-4х+5=0                    x²-4x-2=0  d=16-20< 0                    d=16-4·(-2)=24  уравнение не              x=(-2-2√6)/2=-1-√6  или    х=(-2+2√6)/2=-1+√6имеет корнейответ. -1-√6 ; -1+√6