Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высоты и медианы треугольника; 6) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж. А(-1;-1) B(-7;2) C(-4;3)

Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3) треугольника.

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол А с точностью градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

А ( 1; -5 )

В ( 4; -4 )

С ( -2; -1 )

Сделаем чертёж:

1)длина стороны АВ: - длина стороны АВ.

2) внутренний угол А с точностью градуса:

Для поиска угла воспользуемся формулой . В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.

Найдем угловые коэффициенты по формуле: .

; ?

? А=arctg(-3)=180°-72°»108° - внутренний угол А.

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:

Составим уравнение высоты CD.

Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

y-yс=k(x-xс)

y+1=-3.(x+2)

y+1=-3x-6

3x+y+7=0 - уравнение высоты (CD)

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

y-yА=kАВ(x-xА)

y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:

3y+15=x-1

x-3y-16=0 - уравнение (AB)

Тогда (ед. дл.) – длина высоты (СD).

4) точку пересечения высот:

Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:

y-yВ=k(x-xВ)

y-4=3/4.(x-4) - Домножим на 4 обе части уравнения:

4y-16=3x-12

3x-4y+28=0 - уравнение (BK), тогда

(.) О:

Таким образом, высоты пересекаются в точке О: (-56/15;63/15)

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:

Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:

(.)Е: (5/2; -9/2)

Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:

-7(x+2)=9(y+1)

-7x-14-9y-9=0

-7x-9y-23=0

7x+9y+23=0 уравнение медианы (CE).

6. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:

Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: x-3y-16=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

y-yА=kАC(x-xА)

y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:

3y+15=-4x+4

4x+3y+11=0 - уравнение (АС)

Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:

3.(х-4)=-6.(y+4)

x+2y-4+8=0

x+2y+4=0 - уравнение (BС)

Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:

Подставим (.)С (-2;-1) в уравнение (АВ) x-3y-16=-2-3.(-1)-16 =-15<0

Подставим (.)В (4;-4) в уравнение (АС) 4x+3y+11=4.4+3.(-4)+11=15>0

Подставим (.)А (1;-5) в уравнение (ВС) x+2y+4=1+2. (-5)+4=-5<0

Теперь можно записать систему неравенств:

1) длина стороны АВ: =

2) внутренний угол А с точностью градуса: А »108°;

3) уравнение и длина высоты, опущенной из вершины С: 3x+y+7=0 - (CD) иед.дл.

4) точка пересечения высот О: (-56/15;63/15);

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С: 7x+9y+23=0 - (CE);

6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС: