Регистрация Спросить otvet5GPT
Aydan666
18.01.2021 03:10
Алгебра
Есть ответ 👍

доказать тригонометрическое тоджество

275
484
Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

neannopad7
neannopad7
4,6(29 оценок)

1+\text{tg}\,5\beta\,\text{tg}\,10\beta = \dfrac{1}{\cos10\beta}1+\text{tg}\,5\beta\,\text{tg}\left(2\cdot5\beta\right) = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

\boxed{\boldsymbol{\text{tg}\,2\alpha = \dfrac{2\,\text{tg}\,\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}}}

Тогда у нас:

\boxed{\text{tg}\left(2\cdot5\beta\right) = \dfrac{2\,\text{tg}\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta}}

Заменяем в условии:

1+\text{tg}\,5\beta\cdot\dfrac{2\,\text{tg}\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Выполним умножение:

1+\dfrac{2\,\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

В левой части приводим слагаемые к одному знаменателю:

\dfrac{1-\text{tg}^2\,5\beta + 2\,\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}dfrac{1+\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Так как  \text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} , то:

\dfrac{1 + \left(\dfrac{\sin5\beta}{\cos5\beta}\right)^2}{1 - \left(\dfrac{\sin5\beta}{\cos5\beta}\right)^2} = \dfrac{1}{\cos10\beta}dfrac{1+\dfrac{\sin^25\beta}{\cos^25\beta}}{1-\dfrac{\sin^25\beta}{\cos^25\beta}} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Приводим к одному знаменателю:

\dfrac{\dfrac{\cos^25\beta + \sin^25\beta}{\cos^25\beta}}{\dfrac{\cos^25\beta - \sin^25\beta}{\cos^25\beta}}} = \dfrac{1}{\cos10\beta}dfrac{\cos^25\beta + \sin^25\beta}{\cos^25\beta - \sin^25\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

По основному тригонометрическому тождеству:

\boxed{\boldsymbol{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1}}

Тогда в числителе получается:

\dfrac{1}{\cos^25\beta-\sin^25\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

По формуле косинуса двойного угла:

\boxed{\boldsymbol{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha = \cos2\alpha}}

Тогда имеем:

\dfrac{1}{\cos\left(2\cdot5\beta\right)} = \dfrac{1}{\cos10\beta}boldsymbol{\dfrac{1}{\cos10\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}}

После преобразований левая и правая части оказались одинаковы, а значит, тождество доказано.

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS