Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В и С, ABC = 90°. Точки касания К, Р и М; точка Р находится на стороне АС. Найдите угол КРМ.

Условие

Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках A, B, C, ∠ABC = 90°. Точки касания – K, P и M; точка P лежит на стороне AC. Найдите угол KPM.

Подсказка

Выразите искомый угол через острые углы треугольника ABC.

Решение

Обозначим ∠BAC = α, ∠ACB = γ (α + γ = 90°).

Пусть точка K лежит на отрезке AB. Из равнобедренных треугольников KAP и MCP находим, что ∠APK = 90° – α/2, ∠MPC = 90° – γ/2.

Значит, ∠KPM = 180° – (∠APK + ∠MPC) = ½ (α + γ) = 45°.

ответ

45°.

Задача с точно таким условием на разных ресурсах встречается не раз.

Но не может быть трапеция с такими данными.

В противном случае, если MN=8 см и угол М=45º а KP=10  см и угол Р=30º, то  

высота против угла 45º=8*(sin 45º)= 4√2, а против угла 30º= 10*(sin 30º)=5 см,

чего в трапеции быть не может.

То же самое, если MN=10 см и KP=8 см - длина высот не будет равной.

Расстояние между параллельными прямыми равно в любой точке.

Объяснение: