Окружность касается описанной окружности ω треугольника ABC внутренним образом в точке D, а отрезков AB и AC — в точках E и F соответственно. Прямые DE и DF повторно пересекают окружность в точках M и N соответственно. Найдите угол между прямой MN и высотой из вершины A, если ∠B=72∘, ∠C=44∘.

Лемма Архимеда:

Пунктирная окружность вписана в сегмент окружности w, касается окружности w в точке D и хорды AB в точке E. Тогда DE - биссектриса угла ADB.  

По лемме Архимеда M - середина дуги AB, N - середина дуги AC.

∪AN =∪AC/2 =B

∪MB =∪AB/2 =C

∪BK =2BAK =2(90-B) (из треугольника BAH)

X =(∪AN+∪MK)/2 =(C-B)/2 +90 =(44-72)/2 +90 =76°

ответ: кут VUT = 45°, трикутник TUV = трикутнику TSV

Объяснение:

1) За умовою трикутник SVU - прямокутний.

Якщо VT - бісектриса кута V, тоді

Кут SVT = куту UVT = 45°(бісектриса ділить кут навпіл)

Знаходимо кути S і U:

Кут S = 180° - (90 ° + кут SVT) = 180° - 135° = 45°(сума кутів трикутника 180°)

Кут U = 180° - (90° + кут UVT) = 180° - 135° = 45°(сума кутів трикутника 180°)

(Кут U це і є кут VUT)

2) Розглянемо трикутники TUV і TSV

В них:

1. VT - спільна сторона

2. Кут UVT = куту SVT(однакові)

3. Кут S = куту U (однакові)

Отже, трикутники TUV і TSV однакові(за стороною і двома кутами)