Докажите, что число 1+1/2+1/3+...+1/m не целое

Пусть сумма ряда :

Предположим, что число - целое число и

Найдем среди чисел от 1 до m наибольшую степень двойки, то есть такую, что : , где - натуральное число.

Умножим обе части равенства на :

Поскольку число имеет максимальную степень двойки для чисел от 1 по m, то все степени двоек входящие в разложение на простые множители чисел от 1 по m, если таковые существуют, сократятся c числителем

- натуральное нечетное число.

Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю, но поскольку,  наименьший общий знаменатель нечетных чисел число нечетное, а все числители четные, то левая часть равенства будет выглядить так :   , где - четное число, - нечетное число.

Целое число:     является нечетным при .

Тогда :  произведение двух нечетных числе число нечетное, но число - четное .

То есть мы пришли к противоречию, а значит число - нецелое.

Если же , то - целое число.

Примечание: данное доказательство работает не только для данного ряда, но и  для любого упорядоченного ряда вида :

, если в этом ряду существует число вида ,где - простое, не делится на , причем в разложении на простые множители каждого из чисел от до  содержится не более чем - я cтепень числа , за исключением самого числа .  То есть умножаем обе части на и также рассуждаем про делимость на .

Объяснение:

переписуй крім закреслених цифер