Определите количество корней уравнения |х+2|+|х-а|=а+2 в зависимости от значения параметра а​

Найдем нули подмодульных выражений:

Возможны две ситуации взаимного расположения этих точек: и .

Заметим, что первая ситуация не дает решений, так как при выражение в правой части уравнения , но с другой стороны это выражение есть сумма модулей, которая не может быть отрицательной. Значит, при уравнение не имеет решений.

Рассмотрим ситуацию . Раскроем модуль при трех условиях:

1. Пусть . Тогда оба модуля раскрываются со сменой знака:

Но по условию раскрытия модулей . Значит, в данном случае корней нет.

2. Пусть . Тогда первый модуль раскрывается без смены знака, а второй - со сменой знака:

Это верное равенство. Значит, решениями являются все значения, при которых было сделано такое раскрытие модулей:

3. Пусть . Тогда оба модуля раскрываются без смены знака:

Но по условию раскрытия модулей . Значит, в данном случае корней нет.

Таким образом, корни имеются только при условии . Они определяются соотношением .

Выделив условие как частный случай, можно записать ответ.

при : нет корней

при : один корень

при : бесконечное множество корней: