Регистрация Спросить otvet5GPT
жангул1
23.10.2021 23:23
Математика
Есть ответ 👍

Найдите все полиномы Р(x), для которых P^2(x)-2=2P(2x^2-1)

145
199
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

SofiyaSofia
SofiyaSofia
4,4(65 оценок)

Преобразуем: P^2(x)=2P(2x^2-1)+2\Leftrightarrow \frac{P^2(x)}{2}=P(2x^2-1)+1. Сделаем замену: x\to \frac{P(x)}{2} (полином имеет значение в любой точке), тогда: \frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}=P(\frac{P^2(x)}{2}-1)+1=P(P(2x^2-1))+1. Отсюда: 2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2= P(P(2x^2-1))+1, поскольку  2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2=\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}. Пусть f_{k} обозначает примененную k раз композицию функции \frac{P(x)}{2} с самой собой. Аналогичным образом связана функция g_{k} с функцией P(2x^2-1). Продолжая вышеуказанные подстановки, приходим к равенству 2f_{k}^2=g_{k}+1,\; \forall k\in\mathbb{N}_{0}. Теперь: g(2f_{k}^2-1)=2f^2(2f_{k}^2-1)-1, поскольку g(x)=2f(x)-1 (здесь f,g=f_{0},g_{0}). Но g(2f_{k}^2-1)=g(g_{k})=g_{k+1}=2f_{k+1}^2-1,  значит, 2f_{k+1}^2-1=2f^2(2f_{k}^2-1)-1 \Leftrightarrow f_{k+1}=\pm f(2f_{k}^2-1), но старший коэффициент f_{k} положителен, откуда f_{k+1}=f(2f^2_{k}-1). Пусть старший коэффициент f_{k} равен a_{k}. Предположим, что a_{0}\neq 0. Посчитаем старший коэффициент слева: f_{k+1}=f(f_{k})\Rightarrow a_{k+1}=a_{0}a_{k}^n, где n — степень многочлена f. Старший коэффициент справа равен старшему коэффициенту f(2f_{k}^2) и равен a_{0}\times2^n\times a_{k}^{2n}. Приравниваем: 2^na_{0}a_{k}^{2n}=a_{0}a_{k}^n \Rightarrow (2a_{k})^n=1 \Leftrightarrow a_{k}=1/2 (поскольку a_{0}\neq 0). В частности, a_{0}=1/2.

Заметим, что старший коэффициент P(x) равен 2^{n+1} (в этом несложно убедиться). Тогда a_{0}=2^{n+1}/2=2^{n}=1/2, но такого натурального n нет. Стало быть, a_{0}=0, то есть P(x) константа. Пусть P(x)=c: c^2-2=2c \Leftrightarrow c= 1\pm\sqrt{3}.

Gjjsg
Gjjsg
4,6(66 оценок)

200 л = 200 дм³

75 см = 7,5 дм

50 см = 5 дм

7,5 * 5 = 37,5 дм²

200 : 37,5 = 5,33333 ≈ 5,3 дм = 53 см

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS