Маша и Коля играют в игру. Сначала Коля называет некоторое простое число p. После этого Маша записывает на доске натуральное число n. Тогда Коля пишет для этого числа справа одну или несколько цифр 3. Он выигрывает, если полученное таким образом число делится на p. В противном случае - побеждает Маша. Из них выиграет, если оба стремятся победить?

ответ: Маша

Пошаговое объяснение:

Пусть Маша записала число n

Тогда, после того как Коля cправа приписал к нему k-троек, данное число принимает вид :

N(k) = n*10^k +(10^k -1)/3  

Например: 33333= (100000 -1)/3 = 99999/3 = 33333 =(10^5 -1)/3

N(k) = (3*n*10^k +10^k -1)/3 =  (10^k*(3n+1) -1 )/3

Пусть Коля называет простое число p > 3, тогда Маша действует следующим образом:

Она находит остаток от деления числа p на 3 .

Поскольку число p простое и больше 3 , то оно при делении на 3 может давать либо остаток 1 , либо остаток 2.

Если у Маши получился остаток 1 :

p=3m+1, где    m-натуральное число.

То она в качестве n берет число :

n=m = (p-1)/3

Тогда :   N(k) = (10^k*(3n+1) -1 )/3  = (10^k*( 3*(p-1)/3 +1)  -1) /3 =

= ( 10^k*( p-1+1) -1)/3 = (10^k*p -1)/3

Очевидно , что число  10^k*p  -1 не делится на p при любом натуральном k , а поскольку числа 3 и p взаимнопростые, то  

N(k) = (10^k*p -1)/3  - не делится на p при любом  натуральном k.

Если у Маши получился остаток 2 :

p=3m+2, где m- натуральное число.

2p = 3*2*m + 4 = 3*2*m + 3+ 1  = 3*(2m+1) +1 = 3*r + 1, где r-натуральное число.

То Маша в качестве n берет число :

n=r= (2p -1)/3

Тогда аналогично получаем :

N(k) = (10^k*2*p -1)/3

Таким образом, по тем же соображениям  N(k)  не делится на  p при любом k.

Если же Коля решил взять p = 3, то он дурачок, ибо тогда Маше достаточно взять в качестве N любое число, что не делится на 3.

То есть полученное число состоит из суммы делящегося и неделящегося на 3 числа, то есть не делится на 3.

Ну а если он возьмет p=2, то это уж совсем непоправимый случай, ибо он сам обрекает себя на поражение еще без участия Маши, ибо приписывая тройки он делает число нечетным.

Как видим, при правильной игре Маша всегда побеждает.