Математика: Доказать ограниченность последовательности

aaa1616

01.04.2020 12:25

Математика

Есть ответ 👍

Доказать ограниченность последовательности

280

371

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

EeVoNGuY

Математика

4,8(6 оценок)

Докажем неравенство Бернулли: $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ , $x\geq -1,\; n\in \mathbb{N}_{0}$ .

База индукции: n=0 — тут очевидно.

Пусть выполняется для некоторого n=k , покажем, что выполняется для n=k+1 : $(1+x)^k\geq 1+kx \Rightarrow (1+x)^{k+1}\geq (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\geq 1+(k+1)x$ .

Рассмотрим последовательность $x_{n}=(1+1/n)^{n+1}$ (степень специально на 1 больше — это потребуется при применении неравенства Бернулли)

$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{n+1}{n}(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2})^{n+2}$ . $(\frac{(n+1)^2}{n^2+2n})^{n+2}=(1+\frac{1}{n^2+2n})^{n+2}\geq 1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$ . Поэтому $\frac{x_{n+1}}{x_{n}} \leq \frac{n+1}{n}\times \frac{n}{n+1}=1$ , значит, $x_{n}$ убывает (монотонно). Понятно, что $x_{n}$ ограничена снизу хотя бы нулем, поэтому имеет предел. Поскольку (1+1/n)^n=x_n/(1+1/n) , то (1+1/n) ^n ограничена сверху, причем тем же числом, каким $x_{n}$ ограничена снизу.

energy525

Математика

4,6(13 оценок)

15-8 14-7 12-5 11-4 и т.д

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.