Математика: Логарифмическое неравенство

13573967

02.03.2020 05:19

Математика

Есть ответ 👍

Логарифмическое неравенство

193

477

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

miheeva74

Математика

4,7(98 оценок)

ОДЗ:

$\left \{ {{x+1+\frac{1}{x} 0} \atop {{x^2+1+\frac{1}{x^2}0 \atop{|2x-\frac{1}{2} |\neq 0}} \right.$ $\left \{ {\frac{x^2+x+1}{x} 0} \atop {{ x \in R \atop{x\neq \frac{1}{4} }} \right.$ ⇒ x ∈( 0 ; $\frac{1}{4}$ ) U ( $\frac{1}{4};+\infty)$

Если

$|2x-\frac{1}{2} |1$ логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

$\left \{ {{|2x-\frac{1}{2} |1} \atop {x+1+\frac{1}{x} \geq x^2+1+\frac{1}{x^2} }} \right.$ $\left \{ {{2x-\frac{1}{2} < -1 ; 2x-\frac{1}{2} 1 } \atop {x+\frac{1}{x} \geq(x+\frac{1}{x}) ^2-2 }} \right.$ ⇒ замена переменной $x+\frac{1}{x} =t$

D=(-1)²-4·(-2)=9; корни t₁=1; t₂=2

C учетом ОДЗ:

$\left \{ {{x\frac{3}{4} } \atop {(x+\frac{1}{x}-1)(x+\frac{1}{x}-2)\leq 0 }} \right.$ ⇒ x^2-2x+1 ≤0 ⇒ (x-1)²≤0 ⇒ x=1

Если

логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:

$\left \{ {{0$ $\left \{ {{-1$ ⇒ замена переменной $x+\frac{1}{x} =t$

D=(-1)²-4·(-2)=9; корни t₁=1; t₂=2

C учетом ОДЗ:

$\left \{ {{0$ ⇒ x^2-2x+1 ≥0 ⇒(x-1)²≥0 x - любое

$x \in (0; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4}; \frac{3}{4})$

О т в е т. $x \in (0; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4}; \frac{3}{4})\cup{1}$

ОДЗ:

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

$(|2x-\frac{1}{2}|-1)\cdot (x+1+\frac{1}{x}- x^2-1-\frac{1}{x})\geq 0$

$(|2x-\frac{1}{2}|-1)\cdot( (x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})- 2)\leq 0$

Решаем неравенство методом интервалов:

$|2x-\frac{1}{2}|-1= 0$ ⇒ $|2x-\frac{1}{2}|=1$ ⇒

$2x-\frac{1}{2}=-1$ или $2x-\frac{1}{2}=1$

$x=-\frac{1}{4}$ не входит в ОДЗ или $x=\frac{3}{4}$

2) $(x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})- 2=0$

Замена $x+\frac{1}{x}=t$

t^2-t-2=0

$t_{1}=1$ или $t_{2}=2$

$x+\frac{1}{x}=1$ или $x+\frac{1}{x}=2$

$\frac{x^2-x+1}{x}=0$ или $\frac{x^2-2x+1}{x}=0$

нет корней или x=1

Расставляем знаки неравенства

$(|2x-\frac{1}{2}|-1)\cdot( (x+\frac{1}{x})^2-(x+\frac{1}{x})- 2)\leq 0$

на ОДЗ:

(0) _-___ ( $\frac{1}{4}$ ) _____-____ ( $\frac{3}{4}$ ) ____+_____ [1} ___+___

О т в е т. $x \in (0; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4}; \frac{3}{4})\cup{1}$

Золушка444

Математика

4,4(86 оценок)

0.4×0.4×3.14 =0.5024

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.