Докажите, что среди чисел вида 2^{n} -3 существует бесконечно много чисел, делящихся на 5, и бесконечно много чисел, делящихся на 13, но не существует ни одного числа, делящегося на 65. Указание: рассмотреть остатки от деления числа на 5 и 13

Разность чисел a и b делится на c, если a и b имеют равные остатки при делении на с.

Рассмотрим остатки от деления данного выражения на 5. 3 имеет остаток 3, поэтому 2ⁿ также должно иметь остаток 3. Заметим, что все числа вида имеют такой остаток. Докажем это методом математической индукции:

1. База индукции: при k = 1

2. Переход: пусть при k = x утверждение верно. Тогда при k = x + 1:

Утверждение доказано. Так как k — любое натуральное число, данных в условии чисел бесконечно много.

Аналогично 2ⁿ должно иметь остаток 3 при делении на 13. Также докажем по индукции, что числа вида подходят:

1. База индукции: при k = 1

2. Переход: пусть при k = x утверждение верно. Тогда при k = x + 1:

Утверждение доказано, данных в условии чисел, делящихся на 13, бесконечно много.

Докажем, что не существует чисел вида 2ⁿ, которые при делении на 65 дают остаток 3. Выпишем первые 12 остатков: 2 4 8 16 32 64 63 61 57 49 33 1. Среди них нет ни одной тройки. Докажем, что они повторяются, то есть , где k — неотрицательное целое число, 0 ≤ t ≤ 11 (за исключением случая k = t = 0):

— верно. Значит, 2ⁿ не может давать 3 при делении на 65.