Решите и 10
желательно с решением.
​

9. Упростите выражение   8cos36°cos72° .

- - - - - - -

10. Установите соответствие

1.  sin50° - sin10°      

2.  sin80° + sin20°    

3.  cos70° - cos10°  

ответ:  9   ;

10.1.√3sin20°  → b ;  10.2.√3sin50   → d ; 10.3.  sin40° → e

Объяснение:  * * *  sinαcosα  = (sin2α) /2  * * *      

9. 8cos36°cos72°=8sin36°cos36°cos72°/sin36°=4sin72°cos72°/sin36°=

2sin144°/sin36°=2sin(180° -36°) /sin36°=2sin36°) /sin36°= 2.

- - - - - - -

10.1. sin50° - sin10° =2sin(50° - 10°)/2 *cos(50° + 10°)/2=2sin20 *cos30°=

2sin20 *√3 /2 =√3sin20°  .                            → b

10.2. sin80° +sin20° =2sin(80°+20°)/2 *cos(80°-20°)/2=2sin50 *cos30°=

2sin50 *√3 /2 =√3sin50°   .                             → d

10.3.  cos70°- cos10° = -2sin(70°- 10°)/2*sin(70° + 10°)/2=-2sin30° * sin40°=

= -2*1/2 * sin40°= - sin40° .                              → e

1 Воспользуемся четностью косинуса и формулой

cosα*cosβ=0.5*(cos(α-β)+cos(α+β)cos36°*cos72°=

0.5*(cos(36°-72°)+cos(36°+72°)=0.5(cos36°+cos108°), по формуле тройного аргумента косинуса получим cos108°=cos3*36°=4*cos³36°-3cos36°

с другой стороны, cos108°=cos(180°-72°)=-cos²72°=-cos(2*36°)=

-2cos²36°+1, приравняем, получим уравнение, 4*cos³36°-3cos36°=-2cos²36°+1

заменим cos=х и решим кубическое уравнение, зная, что х положительно, т.к. угол  36° лежит в первой четверти, и меньше единицы. получим 4х³+2х²-3х-1=0, путем подбора найдем первый корень уравнения х=-1, -4+2+3-1=0; разделим на (х+1) выражение 4х³+2х²-3х-1, получим

4х³+2х²-3х-1⊥(х+1)

                      (4х²-2х-1)

-(4х³+4х²)

_____________

          -2х²-3х

          -(-2х²-2х)

                    -х-1

                   -(-х-1)

                        0, значит,  4х³+2х²-3х-1=(х+1)*  (4х²-2х-1)=0

и уравнение имеет корни х=-1; ∅, т.к. не входит в ОДЗ.

(4х²-2х-1)=0; х=(1±√5)/4; х=(1-√5)/4 отрицательное,  не подходит. остается только один корень cos36°=(1+√5)/4, который и подставим в выражение 8*0.5(cos36°+cos108°)=4*(cos36°-2cos²36°+1)=

4*((1+√5)/4)-2*((1+√5)/4)²+1)=1+√5-8*((1+2√5+5)/16)+4=5+√5-3-√5=2

ответ 2

2.   1-b;  2-d; 3- a.

Детальнее 1. 2sin20°*cos30°=2sin20°*(√3/2)=√3sin20°

2. 2sin50°*cos30°=2sin50°*(√3/2)=√3sin50°

3. -2sin30°*sin40°=-2*(1/2)*sin40°=-sin40°

использовал формулы 1. sinα-sinβ=2(sin(α-β)/2)*(cos(α+β)/2)

2.  sinα+sinβ=2(sin(α+β)/2)*(cos(α-β)/2)

3. cosα-cosβ=-2(sin(α-β)/2)*( sin(α+β)/2)

ответ    1-b;  2-d; 3 - a.