Докажите, что при любом натуральном n число 6^2(n+1) − 2^(n+3)* 3^(n+2) + 36 делится на 900.

Пошаговое объяснение:

Число 6ⁿ-1 без остатков делится на 5.

Причина в том, что число 6ⁿ заканчивается всегда на 6.

Из этого числа вычитаем 1, и последняя цифра  число 6ⁿ-1  будет 5.

Это соответствует  признаку делимости на 5.

Доказано:

при любом натуральном n число

делится на 900

Докажите, что при любом натуральном n число 6^2(n+1) − 2^(n+3)* 3^(n+2) + 36 делится на 900.

Пошаговое объяснение:

900=2²*3²*5²

6²⁽ⁿ⁺¹⁾ − 2⁽ⁿ⁺³⁾* 3⁽ⁿ⁺²⁾ + 36=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁺²* 3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹ + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − 2⁽ⁿ⁺¹⁾2²* 3⁽ⁿ⁺¹⁾3¹ + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − (2*3)⁽ⁿ⁺¹⁾2*2*3¹ + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − 2*(2*3)⁽ⁿ⁺¹⁾*6 + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾ −  6)²=

==( 6ⁿ*6¹ −  6)²= (6*( 6ⁿ − 1) )²=36*( 6ⁿ − 1)²

Чтобы число делилось на 900 нужно чтобы оно делилось на 36 и 25.

36*( 6ⁿ − 1)² делится на 36 , т.к один из множителей делится на 36.

(6ⁿ − 1 )² делится на 25 при любом  n т.к. оканчивается на 00, 25, 50, 75. Проверим

1)(6-1)²=25 ,  2) (36-1)²=1225 , 3)((216-1)²=46225 ......

Значит  6²⁽ⁿ⁺¹⁾ − 2⁽ⁿ⁺³⁾* 3⁽ⁿ⁺²⁾ + 36 делится на 900 при любом натуральном n ( не уверена правильности доказательства делимости на 25).

Пятдясят тысячных 50/1000.