Есть ответ 👍

Докажите, что при любом натуральном n число 6^2(n+1) − 2^(n+3)* 3^(n+2) + 36 делится на 900.

282
416
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:


Пошаговое объяснение:

6^{2n+2}-2^{n+3}3^{n+2}+36= 6^{2n}6^2-2^n3^n2^33^2+36=36*6^{2n}-72*6^n+36=\\\\=36(6^{2n}-2*6^n+1)=36(6^n-1)^2\\\\\\\frac{36(6^n-1)^2}{900} =\frac{36(6^n-1)^2}{36*25} =\frac{(6^n-1)^2}{25} =(\frac{6^n-1}{5} )^2

Число 6ⁿ-1 без остатков делится на 5.

Причина в том, что число 6ⁿ заканчивается всегда на 6.

Из этого числа вычитаем 1, и последняя цифра  число 6ⁿ-1  будет 5.

Это соответствует  признаку делимости на 5.

Доказано:

при любом натуральном n число

6^{2n+2}-2^{n+3}3^{n+2}+36

делится на 900


Докажите, что при любом натуральном n число 6^2(n+1) − 2^(n+3)* 3^(n+2) + 36 делится на 900.

Пошаговое объяснение:

900=2²*3²*5²

6²⁽ⁿ⁺¹⁾ − 2⁽ⁿ⁺³⁾* 3⁽ⁿ⁺²⁾ + 36=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁺²* 3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹ + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − 2⁽ⁿ⁺¹⁾2²* 3⁽ⁿ⁺¹⁾3¹ + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − (2*3)⁽ⁿ⁺¹⁾2*2*3¹ + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾)² − 2*(2*3)⁽ⁿ⁺¹⁾*6 + 6²=

=( 6⁽ⁿ⁺¹⁾ −  6)²=

==( 6ⁿ*6¹ −  6)²= (6*( 6ⁿ − 1) )²=36*( 6ⁿ − 1)²

Чтобы число делилось на 900 нужно чтобы оно делилось на 36 и 25.

36*( 6ⁿ − 1)² делится на 36 , т.к один из множителей делится на 36.

(6ⁿ − 1 )² делится на 25 при любом  n т.к. оканчивается на 00, 25, 50, 75. Проверим

1)(6-1)²=25 ,  2) (36-1)²=1225 , 3)((216-1)²=46225 ......

Значит  6²⁽ⁿ⁺¹⁾ − 2⁽ⁿ⁺³⁾* 3⁽ⁿ⁺²⁾ + 36 делится на 900 при любом натуральном n ( не уверена правильности доказательства делимости на 25).

Sndrey68085
4,7(82 оценок)

Пятдясят тысячных 50/1000.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS