В урне находятся 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется: не менее двух белых шаров.

Пусть — событие, состоящее в том, что шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза.

Имеем одинаковых независимых события, в каждом из которых то самое событие совершается с некоторой вероятностью и не совершается с одинаковой вероятностью . Такую совокупность условий называют схемой Бернулли.

Вероятность того, что в схеме Бернулли событие совершится ровно раз, обозначают

Теорема Бернулли: в схеме Бернулли с параметрами справедливо равенство . Это равенство называют формулой Бернулли.

Для имеем:

Поскольку в задаче стоит найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется не менее двух белых шаров, то рассмотрим вероятность выбора 3 белых шаров из 3 попыток.

Для имеем:

Имеем два несовместимых события, поэтому:

ответ:

это дифференциальное уравнение однородное. пусть y=e{kx}. получим характеристическое уравнение:

k²-4k+4=0

(k-2)²=0

k=2

общее решение: y=c1*e^(2x) + c2*x*e^(2x)