devochkaSlava

29.06.2020 15:57

Алгебра

Есть ответ 👍

Даны: функция z=f(x,y), точка A и вектор a . Требуется найти: 1) grad z в точке A ; 2) производную в точке A по направлению вектора a ; 3) экстремум функции z=f(x,y)

279

452

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

okotletacot

Алгебра

4,8(77 оценок)

z=3x^2+3xy+y^2-6x-2y+1

1. Градиент - это вектор вида $\mathrm{grad} z=\dfrac{\partial z}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \vec{j}$ .

Найдем частные производные:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =(3x^2+3xy+y^2-6x-2y+1)'_x=6x+3y-6$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =(3x^2+3xy+y^2-6x-2y+1)'_y=3x+2y-2$

Найдем значение частных производных в точке А:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =6\cdot4+3\cdot3-6=27$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =3\cdot4+2\cdot3-2=16$

Градиент принимает вид:

$\mathrm{grad}_A z=27 \vec{i}+16 \vec{j}$

2. Производная по направлению вектора $\vec{a}$ определяется как $\dfrac{\partial z}{\partial \vec{a}} =\dfrac{\partial z}{\partial x} \cos\alpha +\dfrac{\partial z}{\partial y}\cos \beta$ , где $\cos\alpha=\dfrac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2} }$ , $\cos\beta =\dfrac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2} }$

Определим направляющие косинусы:

$\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{3^2+(-4)^2} }=\dfrac{3}{5}$

$\cos\beta =\dfrac{-4}{\sqrt{3^2+(-4)^2} }=-\dfrac{4}{5}$

Значения частных производных в точке А уже вычислялись. Вычисляем производную по направлению:

$\dfrac{\partial z}{\partial \vec{a}} =\dfrac{3}{5}\cdot27- \dfrac{4}{5}\cdot16=3.4$

3. Необходимое условие экстремума: равенство нулю частных производных. Приравняем частные производные к нулю, составим и решим систему:

$\begin{cases} 6x+3y-6=0\\3x+2y-2=0\end{cases}$

$\begin{cases} 2x+y-2=0\\3x+2y-2=0\end{cases}$

Выразим из первого уравнения у:

y=2-2x

Подставим во второе:

3x+2(2-2x)-2=0

3x+4-4x-2=0

-x=-2

x=2

$\Rightarrow y=-2$

Таким образом, точка (2; -2) - предполагаемая точка экстремума.

Найдем вторые производные функции:

$A=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} =(6x+3y-6)'_x=6$

$B=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =(6x+3y-6)'_y=3$

$C=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} =(3x+2y-2)'_y=2$

Рассмотрим выражение $\Delta=AC-B^2$ :

$\Delta=6\cdot2-3^2=3$

Так как $\Delta0$ и , то (2; -2) - точка минимума.

Найдем значение минимума:

$z_{\min}=z(2;\ -2)=3\cdot2^2+3\cdot2\cdot(-2)+(-2)^2-6\cdot2-2\cdot(-2)+1=-3$

а) $\mathrm{grad}_A z=27 \vec{i}+16 \vec{j}$

б) $\dfrac{\partial z}{\partial \vec{a}} =3.4$

в) $z_{\min}=-3$

Daniya333

Алгебра

4,8(71 оценок)

1)приравниваем x+2y+3=0 и 2x+3y+4=0 6x+7y=-1 x+2y+3=2x+3y+4 x+y+1=0

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.