Математика: Найти область сходимости степенного ряда

даня1166

21.04.2022 05:12

Математика

Есть ответ 👍

Найти область сходимости степенного ряда

124

340

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

arinamarkina0

Математика

4,4(22 оценок)

Введу некоторые поправки: сумма начинается с n = 1.

$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{2^n(x+1)^n}{n^2}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{2^n}{n^2}\cdot (x+1)^n$

Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: $\sum a_nx^n$ , где a_n - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда: $a_n=\frac{2^n}{n^2}$ . Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где R — радиус сходимости, определяемый соотношением:

$R=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2^n}{n^2}\cdot \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n+1)^2}{2n^2}=\frac{1}{2}$

$|x+1|<R\\ \\ |x+1|<\frac{1}{2}\\ \\ -\frac{1}{2}<x+1<\frac{1}{2}\\ \\ -\frac{3}{2}<x<-\frac{1}{2}$

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу $x \in \left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right).$ Теперь нужно проверить сходимость ряда на концах этого интервала.

Если $x=-\frac{3}{2}$ имеем $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}$ - числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

$1\frac{1}{4}\frac{1}{9}...$

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0$

Второе условие Лейбница выполняется. Таким образом, предложенный рассматриваемый ряд сходится. Теперь нужно проверить на условной и абсолютной сходимости ряда. Возьмём ряд по модулю: $\Big|\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^2}\Big|=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}$ - сходящийся ряд. Следовательно, ряд $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^2}$ сходится абсолютно, значит $x=-\frac{3}{2}$ — точка сходимости.

Аналогично, если $x=-\frac{1}{2}$ , имеем $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}$ — сходящийся ряд. Следовательно,

Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при $x \in [-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}].$

Grinberg2003

Математика

4,6(24 оценок)

650-230=420 (км) осталось пути после 3 часов 80*3=240 (км) проехал пассажирский поезд 420-240=180 (км) проехал товарный поезд 180: 3=60 (км/ч) скорость товарного поезда ответ 60 км/ч скорость товарного поезда

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.