Регистрация Спросить otvet5GPT
valyakravets
15.06.2022 03:07
Математика
Есть ответ 👍

ответить на теоретический вопрос и решить уравнение.

179
384
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kazbekkaharman
kazbekkaharman
4,4(54 оценок)

Предел последовательности. Раскрытие неопределенности \left(\dfrac{\infty}{\infty} \right) (с примером).

Число a называется границей числовой последовательности \{x_{n} \}, если для любого \varepsilon 0 существует такой номер N(\varepsilon), что для всех n N(\varepsilon) выполняется неравенство |x_{n} - a| < \varepsilon

Символично это записывается так: \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = a или x_{n} \to a при n \to \infty

Для вычисления границ функций, заданных отношением двух многочленов в случае неопределенности типа \left(\dfrac{\infty}{\infty} \right):

а) в числителе и знаменателе выносится x в наивысшей степени. После соответствующих сокращений и, учитывая, что дроби типа \dfrac{1}{x^{n}} \to 0 при x \to \infty, получаем значение рассматриваемой границы;

б) используются эквивалентные бесконечно большие, то есть

P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n} \sim a_{0}x^{n},

Q_{m}(x) = b_{0}x^{m} + b_{1}x^{m-1} + ... + b_{m} \sim b_{0}x^{m} при x \to \infty

Тогда

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n}}{b_{0}x^{m} + b_{1}x^{m-1} + ... + b_{m}} = \left\{\begin{array}{ccc}0, \ n < m,\\\dfrac{a_{0}}{b_{0}}, \ n = m\\\infty, \ n m\end{array}\right

При вычислении дробей, которые содержат иррациональность, выполняются аналогичные приемы.

Пример: \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2} + x + 1}{5x^{2} - x - 4}

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2} + x + 1}{5x^{2} - x - 4} = \left(\dfrac{\infty}{\infty} \right) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{2}\left(2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(5 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^{2}} \right)} = \dfrac{2 + 0 + 0}{5 - 0 - 0} = \dfrac{2}{5}

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2} + x + 1}{5x^{2} - x - 4} = \left(\dfrac{\infty}{\infty} \right) = \left|\begin{array}{ccc}2x^{2} + x + 1 \sim 2x^{2}\\5x^{2} - x - 4 \sim 5x^{2}\\x \to \infty\end{array}\right| = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}}{5x^{2}} = \dfrac{2}{5}

Решить уравнение -\cos^{2}x + \sin^{2}x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} и отобрать его корни, принадлежащие промежутку [-\pi; \ \pi]

-\cos^{2}x + \sin^{2}x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ | \cdot (-1)

\cos^{2}x - \sin^{2}x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

2x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n, \ n \in Z

2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z \ \ \ |:2

x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \pi n, \ n \in Z

Отбираем корни, принадлежащие промежутку [-\pi; \ \pi]:

\displaystyle \left [ {{-\pi \leq \dfrac{\pi}{8} + \pi n \leq \pi, \ n \in Z \ \ \ \ \ \bigg| -\dfrac{\pi}{8} } \atop {-\pi \leq - \dfrac{\pi}{8} + \pi n \leq \pi, \ n \in Z \ \ \ \bigg| +\dfrac{\pi}{8} }} \right.

\displaystyle \left [ {{-\dfrac{9\pi}{8} \leq \pi n \leq \dfrac{7\pi}{8} , \ n \in Z \ \ \ | :\pi } \atop {-\dfrac{7\pi}{8} \leq \pi n \leq \dfrac{9\pi}{8}, \ n \in Z \ \ \ | :\pi }} \right.

\displaystyle \left [ {{-\dfrac{9}{8} \leq n \leq \dfrac{7}{8} , \ n \in Z } \atop {-\dfrac{7}{8} \leq n \leq \dfrac{9}{8}, \ n \in Z}} \right.

\displaystyle \left [ {{n = \{-1; \ 0\} } \atop {n = \{0; \ 1 \} \ \ }} \right.

Таким образом:

x_{1} = \dfrac{\pi}{8} - \pi = -\dfrac{7\pi}{8}

x_{2} = \dfrac{\pi}{8} + 0\pi = \dfrac{\pi}{8}

x_{3} = -\dfrac{\pi}{8} + 0\pi = -\dfrac{\pi}{8}

x_{4} = -\dfrac{\pi}{8} + \pi = \dfrac{7\pi}{8}

ответ: x= \left\{-\dfrac{7\pi}{8}; \ -\dfrac{\pi}{8}; \ \dfrac{\pi}{8}; \ \dfrac{7\pi}{8} \right\}

Dariu111
Dariu111
4,4(99 оценок)
Он учит не бросать друга

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS