02.01.2020 19:41

Есть ответ 👍

Найти интервал сходимости степенного ряда $2x^{2} +2^{2} x^4+...+2^{n+1}x^{2(n+1)}+...$

119

382

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

MrLux123

Алгебра

4,4(44 оценок)

$2x^{2} + 2^{2}x^{4} + 2^{n+1}x^{2(n+1)} + ... = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}x^{2(n+1)}$

Имеем степенной ряд. Здесь $u_{n} = 2^{n+1}x^{2(n+1)}$ и $u_{n+1} = 2^{n+1+1}x^{2(n+1+1)} = 2^{n + 2}x^{2(n+2)}$

Для ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}x^{2(n+1)}$ составим ряд из абсолютных величин:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$

Пусть ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$ сходится при заданном значении . Тогда этот ряд является знакоположительным и по признаку Даламбера:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \right| = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{2^{n + 2}x^{2(n+2)}}{2^{n+1}x^{2(n+1)}} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{2^{n + 1} \cdot 2}{2^{n+1}} \right| = 2|x|^{2} < 1$

Тогда ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left|2^{n+1}x^{2(n+1)}\right|$ сходится на интервале $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Радиус сходимости: $R = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Исследуем на сходимость ряд на концах интервала.

1) Если $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , то $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =$

$= \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{0} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1$

Ряд сходится. Точка $x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ входит в область сходимости ряда.

2) Если $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , то $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2(n+1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot 2^{-n - 1} =$

$= \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{0} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1$

Ряд сходится. Точка $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ входит в область сходимости ряда.

ответ: $\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]$

орпасм

Алгебра

4,7(28 оценок)

а) 14а³/21а=2а²/3 б) (х²-9)\(3х-9)= (х- 3)(х+3) / 3(х-3) =(х+3) /3 в)( а²-в²)/ (6а+6в) =(а-в)(а+в) / 6(а+в) =(а-в) /6

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.