Используя метод понижения порядка, найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где  – производная «энного» порядка, а правая часть  зависит только от «икс». В простейшем случае  может быть константой.

Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно  раз.

На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка  необходимо проинтегрировать трижды, и т.д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид .

Понижаем степень уравнения до первого порядка:

Или короче: , где  – константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

ответ: общее решение:  

Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Как я уже где-то упоминал, иногда диффур может быть подшифрован. В предложенном примере сначала необходимо привести уравнение к стандартному виду . Решение и ответ в конце урока.

Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые мы рассмотрим в следующих двух примерах:

Пошаговое объяснение:

черепицей :   60/180   =  1/3   = 3/9

шифером :   80/180   = 4/9

железом :   оставшиеся 40/180 = 2/9

так как в окружности 360 градусов   - все данные к общему знаменателю 360:

  получим: 120/360, 160/360 и 80/360. соответственно на круговой диаграмме черепичные крыши займут 120 градусов, шиферные 160 а железные 80. 

вот только крыши в солнечном городе навряд ли нужны, там ведь не бывает