В треугольнике ABC биссектриса угла BAC равна 4. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит стороны AB и AC в отношении 2:1 и 1:1, считая от точки A. Найти площадь треугольника ABC.

12

Объяснение:

Пусть AD- биссектриса угла ВАС.  Пусть точка Т является точкой пересечения окружности и стороны АВ.

То есть  АТ:ТВ=2:1.  Пусть очка К является точкой пересечения окружности со стороной АС. То есть АК:КС=1:1.

Рассмотрим треугольник ADC . Проведем из середины AD  (Из точки О- центр окружности) радиус ОК.  По условию задачи диаметр=4, тогда радиус=ОК=2. Так как точка К делит АС пополам , то ОК является средней линией треугольника ADC. Тогда AD=2*OK=4.  Заметим, что CD является каксательной к окружности , а АС - секущей. Тогда по свойству касательной и секущей:

CD^2=СК*СА

16=х*2х  =>  x=2*sqr(2)

Треугольник AКD - прямоугольный, т.к. угол К опирается на диаметр окружности AD.

Тогда cosDAK=AK/AD= 2*sqr(2)/4=sqr(2)/2=> DAC=DAB=45 градусов

Заметим , что треугольник ATD также прямоугольный, т.к. угол Т опирается на диаметр окружности.

Тогда ТА= AD*cos TAD= 4*sqr(2)/2=2*sqr(2)

Тогда ВА =sqr(2)+2*sqr(2)=3*sqr(2)

Поскольку DAC=DAB=45 градусов, то угол А=90 градусов=>

треугольник ВАС- прямоугольный.

=> S(ABC)= AB*AC/2= 3*sqr(2)*4*sqr(2)/2=12

дано: ab=ad,

∠bac=∠dac

доказать: ∆abc=∆adc

доказательство:

1) ab=ad (по условию)

2) ∠bac=∠dac (по условию)

3) ac — общая сторона.

следовательно, ∆abc=∆adc (по двум сторонам и углу между ними)

дано:

ao=bo,

co=do

доказать: ∆aoc=∆bod.

доказательство:

определяем те элементы, о равенстве которых известно по условию :

1)   ao=bo (по условию)

2) co=do (по условию).

3) ∠aoc = ∠bod (как вертикальные).

дано:

ab=ac,

af=ak

доказать: ∆abk=∆acf

доказательство:

1) ab=ac (по условию)

2) af=ak (по условию)

3) ∠a — общий.

следовательно, ∆abk=∆acf (по двум сторонам и углу между ними).

вычислите периметр равнобедренного треугольника авс, если периметр треугольника adc равен 18 cм, и cd = 6 cм и ad = bd (fig.5)

доказательство:

периметр треугольника adc = ac + cd + ad = 18 ⇔ ac + 6 + ad = 18 ⇔ ac + ad = 12

потому что ac = bc (треугольники являются равнобедренными) и ad = db, следовательно ac + ad = db +bc = 12

периметр треугольника abc = ab + ac + bc = ad + db + ac + bc = 12 + 12 = 24 cм.