Регистрация Спросить otvet5GPT
egorviktorov20
28.03.2022 15:33
Математика
Есть ответ 👍

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения второго порядка - x (y"+1)=-y'

199
409
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

sddnblck
sddnblck
4,6(60 оценок)

y=C_1\ln|x|-\frac{x^2}{4}+C_2

Пошаговое объяснение:

x(y''+1)=-y'

Это уравнение допускает понижение порядка с следующей замены: y'=u

x(u'+1)=-u = xu'+x=-u = xu'+u=-x;

Это неоднородное линейное уравнение. Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: u=u_o+\bar u

Рассмотрим однородное уравнение:

xu'+u=0 = x\frac{du}{dx} = -u = \frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} = \ln|u|=-\ln|x|+\ln|C|=\ln|u|=\ln|\frac{C}{x}| = u_o=\frac{C}{x}

Частное решение неоднородного уравнения имеет смысл искать в виде: \bar u = Ax+B:

xA+Ax+B=-x = 2Ax+B=-x = A=-\frac{1}{2}, B=0 = \bar u = -\frac{x}{2}

То есть общее решение есть: u = \frac{C}{x} -\frac{x}{2}

Возвращаемся к замене:

y' = \frac{C}{x} - \frac{x}{2} = y=\int (\frac{C}{x}-\frac{x}{2})dx = C_1\ln|x|-\frac{x^2}{2} + C_2

chesht
chesht
4,8(98 оценок)

3м 4дм=34 дм

2м 8дм=28дм

6м 9дм=69дм

7дм 3 см=73см

Пошаговое объяснение:

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS