Регистрация Спросить otvet5GPT
hghfYES
22.05.2023 09:19
Математика
Есть ответ 👍

Исследовать функцию z = 1/2xy + (47 - x - y)(x/3 + y/4) на экстремум

137
345
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

али419
али419
4,6(61 оценок)

z = \dfrac{1}{2} xy + (47 - x - y)\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} \right) = \dfrac{1}{2} xy + \dfrac{47}{3}x + \dfrac{47}{4}y - \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{xy}{4} - \dfrac{xy}{3} - \dfrac{y^{2}}{4} =

= -\dfrac{1}{12} xy + \dfrac{47}{3}x - \dfrac{x^{2}}{3} + \dfrac{47}{4}y - \dfrac{y^{2}}{4}

1) Необходимые условия экстремума:

z'_{x} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{12}y + \dfrac{47}{3} - \dfrac{2}{3}x

z'_{y} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{47}{4} - \dfrac{1}{2}y

\displaystyle \left \{ {{ -\dfrac{1}{12}y + \dfrac{47}{3} - \dfrac{2}{3}x = 0} \atop { -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{47}{4} - \dfrac{1}{2}y = 0}} \right.

\displaystyle \left \{ {{\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{12}y = \dfrac{47}{3} \ \ \ | \cdot 12} \atop { \dfrac{1}{12}x + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{47}{4} \ \ \ |\cdot 12}} \right.

\displaystyle \left \{ {{8x + y = 188} \atop {x + 6y = 141}} \right.

\displaystyle \left \{ {{y = 188 - 8x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x + 6(188 - 8x) = 141}} \right.

\displaystyle \left \{ {{y=20} \atop {x=21}} \right.

Таким образом, M(21; \ 20) — стационарная точка.

2) Достаточные условия экстремума:

A = z''_{xx} \bigg|_{M}= -\dfrac{2}{3}; \ \ \ B = z''_{xy} \bigg|_{M} = -\dfrac{1}{12}; \ \ \ C = z''_{yy} \bigg|_{M} = -\dfrac{1}{2}

Составим матрицу H = \left(\begin{array}{ccc}A&B\\B&C\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{12} \\ \\-\dfrac{1}{12}& -\dfrac{1}{2} \\\end{array}\right)

Тогда \Delta_{1} = A = -\dfrac{2}{3} < 0 и \Delta_{2} = AC - B^{2} = -\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right) - \left(-\dfrac{1}{12} \right)^{2} = \dfrac{47}{144} 0

По критерию Сильвестра точка M(21; \ 20) является точкой локального максимума.

z = z_{\max} (21; \ 20) = \dfrac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 + (47 - 21 - 20)\left(\dfrac{21}{3} + \dfrac{20}{4} \right) = 282

ответ: z = z_{\max} (21; \ 20) = 282

999999апро
999999апро
4,5(36 оценок)
А+4а=0224+4*224=1120

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS