Решить задачу линейного программирования: L max = ₓ₁ + ₓ₂
ₓ₁+2ₓ₂≤10
ₓ₁+2ₓ₂≥2
2ₓ₁+ₓ₂≤10
ₓ₁≥0 ,ₓ₂≥0

Переход к КЗЛП.

F(X) = x1+x2 → max при ограничениях:

x1+2x2≤10

x1+2x2≥2

2x1+x2≤10

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

F(X) = x1+x2

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5.

x1+2x2+x3 = 10

x1+2x2-x4 = 2

2x1+x2+x5 = 10

Переход к СЗЛП.

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

1 2 1 0 0 10

1 2 0 -1 0 2

2 1 0 0 1 10

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.

1. В качестве базовой переменной можно выбрать x3.

2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.

Получаем новую матрицу:

1 2 1 0 0 10

-1 -2 0 1 0 -2

2 1 0 0 1 10

3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5).

Соответствующие уравнения имеют вид:

x1+2x2+x3 = 10

-x1-2x2+x4 = -2

2x1+x2+x5 = 10

Выразим базисные переменные через остальные:

x3 = -x1-2x2+10

x4 = x1+2x2-2

x5 = -2x1-x2+10

Подставим их в целевую функцию:

F(X) = x1+x2

или

F(X) = x1+x2 → max

Система неравенств:

-x1-2x2+10 ≥ 0

x1+2x2-2 ≥ 0

-2x1-x2+10 ≥ 0

Приводим систему неравенств к следующему виду:

x1+2x2 ≤ 10

-x1-2x2 ≤ -2

2x1+x2 ≤ 10

F(X) = x1+x2 → max

Упростим систему.

x1+2x2 ≤ 10

-x1-2x2 ≤ -2

2x1+x2 ≤ 10

F(X) = x1+x2 → max

Если задача ЛП решается на поиск min-го значения, то стандартная форма будет иметь следующий вид:

-x1-2x2 ≤ -10

x1+2x2 ≤ 2

-2x1-x2 ≤ -10

F(X) = -x1-x2 → min