Алгебра: Найти общий вид первообразных для функции

smorodina83

01.09.2020 11:59

Алгебра

Есть ответ 👍

"Найти общий вид первообразных для функции"

202

380

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nastia04102015

Алгебра

4,7(13 оценок)

$f(x) = \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1}$

Совокупность всех первообразных функции f(x) называют неопределенным интегралом:

$\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C,$

где — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int f(x) \, dx = \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx$

Теорема: если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке , то на этом промежутке функция $y = F(x) \pm G(x)$ является первообразной функции $y = f(x) \pm g(x):$

$\displaystyle \int \left(f(x) \pm g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx = F(x) \pm G(x) + C,$

где — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx =$

$\displaystyle = \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, то на этом промежутке функция y = kF(x) является первообразной функции y = kf(x):

$\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx = kF(x) + C$

Тогда $\displaystyle \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx =$

$= \displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция $y = \dfrac{1}{k} F(kx + b)$ является первообразной функции y = f(kx + b):

$\displaystyle \int f(kx + b) \, dx = \dfrac{1}{k} F(kx + b) + C,$

где — произвольная постоянная.

Найдем каждый интеграл по отдельности:

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} = \int (3 - 5x)^{-4} \, dx = \dfrac{1}{-5} \cdot \dfrac{(3 - 5x)^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C =$

$= \dfrac{1}{15(3 - 5x)^{3}} + C$

$2) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} = \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2x + C$

$3) \ \displaystyle \int e^{8x+1} dx = \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Получаем: $\displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx =$

$= \dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) имеет вид:

$\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

ответ: $\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Использованные формулы интегрирования:

$\displaystyle \int x^{a} \, dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + C, \ a \neq -1$

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^{2}x} = \text{tg} \, x + C$

$\displaystyle \int e^{x} \, dx = e^{x} + C$

Springtrap222134124

Алгебра

4,4(41 оценок)

1) нет , при любом отридцательном а , оно будет отридцательным 2)да , x в четной степени. 3) да , y в четной степени 4) да , с в четной степени

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.