Боковая грань четырехугольной пирамиды наклонила к площади основы пол углом 60 градусов. Определите объем этой пирамиды,если радиус вписанного а нее шара равен 3 см.

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар.

R шара (ОО₁, О₁К) = 3 см.

∠SFO = 60˚.

V пирамиды - ?

Проведём биссектриса О₁F.

△O₁OF - прямоугольный, так как SO - высота.

=> ∠O₁FO = O₁FK = 60˚/2 = 30˚

"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".

=> O₁F = 3 · 2 = 6 см

Найдём катет OF, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

b = √(c² - a²) = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см

Итак, OF = 3√3 см

△SOF - прямоугольный, так как SO - высота.

"Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3".

⇒ SO = OF · √3 = 3√3 · 3 = 9 см.

Итак высота пирамиды SO = 9 см.

MO = OF = 3√3 см, так как SО - высота пирамиды.

⇒ MF = 3√3 · 2 = 6√3 см

Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.

"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".

⇒ MF = AB = BC = DC = AD = 6√3 см

S квадрата = а², где а - сторона квадрата.

S квадрата = (6√3)² =  108 см²

V пирамиды = 1/3 · S квадрата · SO = 1/3 · 108 · 9 = 324 см³