В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 14 см и 4 см, а боковое ребро равно 13 см. Найдите площадь полной поверхности и объем усеченной пирамиды

ответ: V=1072см²

Объяснение: чтобы найти полную площадь усечённой пирамиды, нужно найти площадь её боковой поверхности и площадь 2-х оснований и их суммировать. Для начала нужно найти площадь боковой грани пирамиды, ей является трапеция. Рассмотрим нашу трапецию и обозначим её вершины А А1 Д, Д1, причём А1Д1 и АД основания трапеции, а АА1 и Д1Д - боковые стороны. В нашем случае трапеция равнобедренная, поэтому АА1=Д1Д=13см.

Проведём из вершин А1 и Д1 две высоты А1Н и Д1Н1 к основанию АД. Они делят АД так что НН1=А1Д1=4см.

АН =ДН1=(14-4)/2=10/2=5см

Рассмотрим полученный ∆АА1Н. Он прямоугольный где АН и А1Н - катеты, а АА1- гипотенуза. По теореме Пифагора найдём высоту А1Н:

А1Н²=АА1²-АН²=13²-5²=169-25=144;

А1Н=√144=12см.

Теперь найдём площадь боковой грани пирамиды, зная её высоту и оба основания по формуле:

S=(A1Д1+АД)/2×А1Н=(4+14)/2×12=18/2×12=

=9×12=108см²

Sбок.гр=108см²

Так как таких граней 4, то площадь боковой поверхности будет:

Sбок.пов=Sбок.гр×4=108×4=432см²

Sбок.пов=432см²

Так как в основе правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, то площадь верхнего и нижнего основания найдём по формуле: S=a², где а- сторона квадрата.

Sверх.осн=4²=16см²

Sниж.осн=14²=196см²

Теперь найдём полную площадь поверхности усечённой пирамиды:

Sпол=Sбок.пов+S2х.осн

Sпол=432+16+196=644см²

Объём такой пирамиды вычисляется по формуле: V=⅓×h(S1+S2+√(S1×S2), где S1 и S2 площади оснований пирамиды, а h- её высота:

V=⅓×12(16+196+√(16×196))=4(212+√3136)=

=848+4√3136=848+4×56=848+224=

=1072см²

V=1072см²