Регистрация Спросить otvet5GPT
PROvacaTOR1
24.09.2020 04:16
Математика
Есть ответ 👍

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость(теорема Лейбница. Знакочередующиеся ряды)

147
491
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ооиррррр
ооиррррр
4,5(53 оценок)

\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}} — знакочередующийся ряд, поскольку функция косинус при различных n является знакопеременной.

1) Находим ряд из абсолютных величин:

\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \left| \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}} \right| = \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}| \cos (\pi n)|}{3^{n}}  — знакоположительный числовой ряд

2) Исследуем ряд на сходимость.

Здесь \displaystyle u_{n} = \dfrac{n^{2}| \cos (\pi n) | }{3^{n}} и \displaystyle u_{n+1} = \dfrac{(n+1)^{2}| \cos (\pi (n+1)) | }{3^{n+1}}

Находим предел:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ \dfrac{(n+1)^{2}| \cos (\pi (n+1)) | }{3^{n+1}}}{\dfrac{n^{2}| \cos (\pi n) | }{3^{n}}} = \left|\begin{array}{ccc}n + 1 \sim n\\n \to \infty \\\end{array}\right| =

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}|\cos (\pi n + \pi)| \cdot 3^{n}}{n^{2}|\cos (\pi n)| \cdot 3^{n} \cdot 3} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|\cos (\pi n)|}{|\cos (\pi n)| \cdot 3} = \dfrac{1}{3} < 1

По признаку Даламбера ряд из абсолютных величин \displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}| \cos (\pi n)|}{3^{n}} расходится.

3) Теорема Лейбница:

1) \ u_{1} u_{2} u_{3} ...

2) \ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}} = |-1 \leq \cos(\pi n) \leq 1| = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{2}}{3^{n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n^{2})'}{(3^{n})'} =

\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n}{3^{n} \ln 3} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2n)'}{(3^{n} \ln 3)'} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{3^{n}\ln^{2}n} = \left\{\dfrac{2}{\infty} \right\} = 0

Условия выполнены, значит, знакочередующийся ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty} \dfrac{n^{2}\cos (\pi n)}{3^{n}} является условно сходящимся.

ответ: условно сходящийся.

RoseIce
RoseIce
4,4(11 оценок)

1 ) ( 4 , 2 + 2 ,1 ) : 2 = 3 ,15

2)(3,9+6,9 +18+15,8) : 4 = 11 ,5

или

(3,9+6+9+18+15,8): 5 =10,54

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS