На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на первом станке равна 0.92, а на втором - 0,80. Изготовленные на обоих станках не рассортированные валики находятся на складе в случайно образовавшемся порядке. Среди них валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Взятый наудачу со склада валик оказался высшего сорта. Определить вероятность того, что он произведен на первом станке с объяснением

Гипотезы: B₁ - взятый валик с первого станка.

B₂ - взятый валик со второго станка.

Пусть на складе N₁ валиков с первого станка и N₂ валиков со второго станка. Тогда по условию N₁ = 3·N₂.

P(B₁) = N₁/(N₁+N₂) = (3N₂)/(3N₂+N₂) = (3N₂)/(4N₂) = 3/4.

P(B₂) = N₂/(N₁+N₂) = N₂/(3N₂+N₂) = N₂/(4N₂) = 1/4.

Пусть А - событие, что взятый на удачу валик оказался высшего сорта, тогда по формуле полной вероятности:

P(A) = P(A·B₁) + P(A·B₂) = P(B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂)

По условию P(A|B₁) = 0,92 и P(A|B₂) = 0,8.

P(A) = (3/4)·0,92 + (1/4)·0,8.

P(A·B₁) = P(A)·P(B₁|A).

P(A·B₁) = P(B₁)·P(A|B₁).

P(A)·P(B₁|A) = P(B₁)·P(A|B₁).

По условию необходимо найти P(B₁|A), из последнего равенства имеем

P(B₁|A) = P(B₁)·P(A|B₁)/P(A)

(это формула Байеса)

P(B₁|A) = (3/4)·0,92/((3/4)·0,92 + (1/4)·0,8) =

= 3·0,92/(3·0,92 + 0,8) = 2,76/3,56 = 276/356 = 138/178 = 69/89.

ответ. 69/89.

приведу решение другим составим "дерево вероятности"

по условию "Среди них валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором"- значит полная вероятность =1

тогда на 3х(1 станок)+х(второй станок)=1

тогда х= 0,25, 3х=0,75

теперь рисуем "дерево"

                                                        валики

                       1 станок 0,75                              2 станок 0,25

     высший сорт /не высший сорт    высший сорт/ не высший сорт

                0,92     /  0,08                                         0,8     /  0,2

тогда всего валиков высшего сорта  0,75*0,92+0,25*0,8=0,89

валиков высшего сорта с 1 станка 0,75*0,92= 0,69

Тогда выроятность валика высшего сорта с первого станка 0,69/0,89=69/89 ≈0,775