Регистрация Спросить otvet5GPT
BlackWolf05
14.12.2020 09:15
Математика
Есть ответ 👍

Решение систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных.

232
379
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nkochneva1
nkochneva1
4,6(22 оценок)

Полное решение в прикрепленном файле, здесь некоторые подробные расчеты пропущены, так как слишком длинное решение не хочет добавляться.

\begin{cases} x'=4x+6y-\sin t\\ y'=3x+y+e^{5t} \end{cases}

Продифференцируем первое уравнение:

x''=4x'+6y'-\cos t

Подставим выражение для y' из второго уравнения:

x''=4x'+6(3x+y+e^{5t})-\cos t

x''=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t

От получившегося уравнения отнимем первое уравнение системы:

x''-x'=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t-(4x+6y-\sin t)

x''-x'=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t-4x-6y+\sin t

x''-5x'-14x=6e^{5t}+\sin t-\cos t

Решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

x''-5x'-14x=0

Составим характеристическое уравнение:

\lambda^2-5\lambda-14=0

\lambda_1=7;\ \lambda_2=-2

X=C_1e^{7t}+C_2e^{-2t}

Предположим, что C_1 и C_2 не константы, а некоторые функции C_1=z_1(t) и C_2=z_2(t).

Найдем первую производную:

X'=C_1'e^{7t}+7C_1e^{7t}+C_2'e^{-2t}-2C_2e^{-2t}

Пусть C_1'e^{7t}+C_2'e^{-2t}=0. Тогда:

X'=7C_1e^{7t}-2C_2e^{-2t}

Найдем вторую производную:

X''=7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}

Подставим значения функции и производных в уравнение относительно х:

7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}-5(7C_1e^{7t}-2C_2e^{-2t})-\\-14(C_1e^{7t}+C_2e^{-2t})=6e^{5t}+\sin t-\cos t

7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}-35C_1e^{7t}+10C_2e^{-2t}-\\-14C_1e^{7t}-14C_2e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t

7C_1'e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t

Добавим к полученному уравнению условие, заданное на этапе нахождения первое производной:

\begin{cases} C_1'e^{7t}+C_2'e^{-2t}=0 \\ 7C_1'e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t \end{cases}

Из первого уравнения выразим C_1':

C_1'=-C_2'e^{-9t}

Подставим во второе уравнение:

-7C_2'e^{-9t}e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t

-9C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t

C_2'=-\dfrac{6e^{5t}+\sin t-\cos t}{9e^{-2t}}

C_2'=-\dfrac{1}{9} \left(6e^{7t}+e^{2t}\sin t-e^{2t}\cos t\right)

Найдем C_1':

C_1'=-C_2'e^{-9t}=\dfrac{1}{9} \left(6e^{-2t}+e^{-7t}\sin t-e^{-7t}\cos t\right)

Необходимо проинтегрировать выражения для C_1' и C_2'. Для этого предварительно вычислим следующие циклические интегралы, пользуясь формулой интегрирования по частям:

\int udv=uv-\int vdu

1)

\int e^{2t}\sin tdt=\dfrac{1}{5}e^{2t} (2\sin t-\cos t)+C

2)

\int e^{2t}\cos tdt=\dfrac{1}{5}e^{2t} (\sin t+2\cos t)+C

3)

\int e^{-7t}\sin tdt=-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(7\sin t+\cos t)+C

4)

\int e^{-7t}\cos tdt=\dfrac{1}{50} e^{-7t}(\sin t-7\cos t)+C

Интегрируем выражение для C_1':

C_1=\dfrac{1}{9} \left(6\cdot \dfrac{1}{-2} e^{-2t}-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(7\sin t+\cos t)-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(\sin t-7\cos t)\right)+D_1

C_1=-\dfrac{1}{3} e^{-2t}-\dfrac{1}{225} e^{-7t}(4\sin t-3\cos t)+D_1

Интегрируем выражение для C_2':

C_2=-\dfrac{1}{9} \left(6\cdot\dfrac{1}{7} e^{7t}+\dfrac{1}{5} e^{2t}(2\sin t-\cos t)-\dfrac{1}{5}e^{2t} (\sin t+2\cos t)\right)+D_2

C_2=-\dfrac{2}{21} e^{7t}-\dfrac{1}{45} e^{2t}(\sin t-3\cos t)+D_2

Подставляем выражения для C_1 и C_2 в решение:

x=\left(-\dfrac{1}{3} e^{-2t}-\dfrac{1}{225} e^{-7t}(4\sin t-3\cos t)+D_1\right)e^{7t}+\\+\left(-\dfrac{2}{21} e^{7t}-\dfrac{1}{45} e^{2t}(\sin t-3\cos t)+D_2\right)e^{-2t}

x=-\dfrac{1}{3} e^{5t}-\dfrac{1}{225} (4\sin t-3\cos t)+D_1e^{7t}-\dfrac{2}{21} e^{5t}-\dfrac{1}{45}(\sin t-3\cos t)+D_2e^{-2t}

x=D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t-2\cos t)

Найдем производную:

x'=7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7}\cdot5e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)

x'=7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{15}{7}e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)

Из первого уравнения исходной системы выразим у:

y=\dfrac{1}{6} \left(x'-4x+\sin t\right)

Подставляем выражения для х и х':

y=\dfrac{1}{6} \left(7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{15}{7}e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)-

\left-4\left(D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t -2\cos t)\right)+\sin t\right)=

=\dfrac{1}{2} D_1e^{7t}-D_2e^{-2t}-\dfrac{1}{14}e^{5t}+\dfrac{1}{50} (9\sin t-3\cos t)

ответ: \begin{cases} x=D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t-2\cos t) \\ y=\dfrac{1}{2} D_1e^{7t}-D_2e^{-2t}-\dfrac{1}{14}e^{5t}+\dfrac{1}{50} (9\sin t-3\cos t)\end{cases}

Lency
Lency
4,4(59 оценок)

28: 14 =2

1/2: 2/3 =1/2*3/2=3/4

0,6: 0,3=2

8: 10=0.8

2: 2   1/2=2*2/5=4/5

7: 2, 1=7*10/21=10/3=3 1/3

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS