DashaHB16

12.07.2021 11:25

Геометрия

Есть ответ 👍

На диагонали AC квадрата ABCD выбраны точки X и Y так, что точка Y лежит на отрезке CX и XY=YD. Известно, что ∠XBC=84∘. Чему равен ∠XYD?

254

391

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

софилка

Геометрия

4,5(29 оценок)

надо найти радиус шара, вписанного в пирамиду, ограниченную плоскостями, заданными следующими уравнениями в обычной ортогональной системе координат (x,y,z):

плоскости x = 0, y = 0, z = 0 (это просто плоскости, построенные на координатных осях - плоскости xy, yz, xz) и

плоскость 12*x + 4*y - 3*z = 12;

пояснения. вершина а соответствует началу координат, точка b лежит на оси x и имеет координаты (1,0,0), точка с лежит на оси y и имеет координаты (0,3,0), точка d лежит на оси z и имеет координаты (0,0,4). такая привязка пирамиды к ортогональной системе координат возможна потому, что треугольники cad, bad и abc прямоугольные, это легко проверить по теореме пифагора. угол а - это "прямой трехгранный угол", то есть все три прямые ав, ас и ad взаимно перпендикулярны.

плоскость 12*x + 4*y + 3*z = 12 соответствует плоскости dbc и проходит через точки b(1,0,0) c(0,3,0) d(0,0,4), что легко проверить непосредственно (напомню, что три точки плоскость однозначно).

уравнение плоскости легко к векторному виду nr = 12/13; где единичный вектор n = (12/13, 4/13, 3/13); ini = 1; а вектор r - это радиус-вектор точки плоскости, то есть попросту вектор (x,y,z), где x,y,z - коодинаты любойточки плоскости. вектор n - нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен плоскости.

с другой стороны, центр шара, вписанный в эту пирамиду, должен быть равноудален от граней трехгранного угла, поэтому он лежит на прямой x = y = z;

или, что то же самое, радиус-вектор центра r имеет координаты (a,a,a), где a - радиус вписанного шара (я использую букву а, чтобы не было путаницы, где что).

при этом расстояние от центра до плоскости dbc тоже равно а. из этого следует вот что - если провести перпендикуляр из центра на плоскость, и этот отрезок рассматривать, как вектор (с модулем а) с началом в центре и с концом на плоскости, то этот вектор можно записать в виде n*a, поскольку вектор n перпендикулярен плоскости dcb и по модулю равен 1.

конечная точка вектора принадлежит плоскости (это точка касания шара и плоскости dcb). запишем это в векторном виде.

r + n*a = r; где r - радиус-вектор точки касания.

я представил радиус-вектор точки касания в виде суммы двух векторов - радиус-вектора центра шара и вектора из центра шара в точку касания (все

поскольку точка касания лежит на плоскости, она подчинаяется уравнению плоскости. чтобы этим воспользоваться, умножим скалярно обе стороны этого векторного равенства на n. получим

rn + a = nr = 12/13.

rn = (12/13 + 4/13 + 3/13)*a = (19/13)*a; и получается элементарное соотношение

19*а + 13*а = 12;

радиус шара a = 3/8.

есть и такой способ - я соединяю центр шара с вершинами и считаю объем пирамиды как сумму объемов получившихся четырех пирамид, в которых радиус шара является высотой. я получаю простую формулу, аналогичную известной формуле площади треугольника. пусть v - объем пирамиды, s - площадь всех поверхности, а - радиус шара. тогда

v = s*a/3;

площади трех граней пирамиды легко считаются

sabc = 3*1/2 = 32; sabd = 4*1/2 = 2; sacd = 4*3/2 = 6;

четвертая грань - это треугольник bcd со сторонами √17, √10 и 5; если есть большое желание, можно вычислить его площадь по герону. но есть более просто способ.

я провожу в этом треугольнике высоту из точки в к стороне cd = 5 и получаю два прямоугольных треугольника. если высота h, а сторона cd делится на отрезки x и 5 - x, то

x^2 + h^2 = 17;

(5 - x)^2 + h^2 = 10;

x = 16/5; h = 13/5;

sbcd = 13/2;

окончательно получается

v = 1*3*4/6 = 2; s = 13/2 + 2 + 6 + 3/2 = 16;

a*16/3 = 2;

a = 3/8;

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.