Точка F не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N, K принадлежат отрезкам AF, BF, CF так, что угол FMN = углу FAB, а угол FNK = углу FBC. Докажите, что плоскости АВС и МNК паралельны.

Углы FMN и FAB являются соответственными для отрезков MN и AB. Поскольку по условию они равны, то отрезки MN и AB параллельны.

Теперь рассмотрим отрезок MN и плоскость ABC. Как известно, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Аналогичные рассуждения проведем для отрезка NK и плоскости ABC.

Известно, что если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны. Значит, плоскости АВС МNК параллельны.

Известно  

что если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в другой плоскости β то эти плоскости параллельны. Значит плоскости АВС МNК параллельны.

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, в нашем случае основание=а,   s = (a²√3)/4

так как в правильном треугольнике биссектрисы являются медианами и высотами 

r= a/(2√3), а его площадь s=пи*r²=пи*а²*12

s/s = [(a²√3)/4]/[пи*а²*12] =  √3/(36пи) 

диагонали трапеции при пересечении делятся пополам, следовательно, горизонтальная линия проходящая через точку пересечения является средней линий трапеции и через ее середину пройдет линия, соединяющая середины оснований.