ЖЕЛАТЕЛЬНО 2 ВАРИАНТ​

Первый признак.  если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.  доказательство.  рассмотрим треугольники  авс и   угол a равен углу а1, ав равно а1в1,  ас равно а1с1. докажем, что треугольники равны.  наложим треугольник abc  на треугольник a1b1c1  так, чтобы угол a совместился с углом a1. так как ав=а1в1, а ас=а1с1, то b совпадёт с в1, а c совпадёт с с1.значит, треугольник а1в1с1  совпадает с треугольником авс, а следовательно, равен треугольнику авс.  второй признак.  если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащих к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.  доказательство.  рассмотрим треугольники  авс и а1в1с1,  у которых ав равно а1в1,  угол а равен углу а1, и угол в равен углу в1. наложим треугольник abc  на треугольник a1b1c1  так, чтобы ab совпало с a1b1.  так как ∠вас =∠в1а1с1  и ∠авс=∠а1в1с1, то луч ас совпадёт с а1с1, а вс совпадёт с в1с1. отсюда следует, что вершина c совпадёт с с1.  значит, треугольник а1в1с1  совпадает с треугольником авс, а следовательно, равен треугольнику авс.  третий признак. если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.  доказательство.  рассмотрим треугольники abc и alblc1,  у которых ав=а1в1, bc = blc1  са=с1а1.  докажем, что δавс =δa1b1c1. приложим треугольник abc   (либо симметричный ему)   к треугольнику a 1 b 1 c 1   так, чтобы вершина а совместилась с вершиной a 1 , вершина в — с вершиной в 1 , а вершины с и с 1 , оказались по разные стороны от прямой а 1 в 1. рассмотрим 3 случая: 1) луч с 1 с про­ходит внутри угла а 1 с 1 в 1 . так как по условию теоремы стороны ас и a 1 c 1 , вс и в 1 с 1   равны, то треугольники a 1 c 1 c и в 1 с 1 с — равнобедренные. по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠acb=∠a 1 c 1 b 1. 

2) луч с1с совпадает с одной из сторон этого угла. a лежит на cc1. ac=a1c1, bc=b1c1, ∆c1bc – равнобедренный, ∠acb=∠a1c1b1. 

3) луч c1c проходит вне угла а1с1в1. ac=a1c1, bc=b1c1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠acb=∠a1c1b1. итак, ac=a1c1, bc=b1c1, ∠c=∠c1. следовательно, треугольники abc и a1b1c1  равны по  первому признаку равенства треугольников.