Куб, ребро которого равно 3, переплавили в прямоугольный параллелепипед, площадь основания которого равна 9. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Δ  ake прямоугольный, так как  ∠kea вписанный и опирается на диаметр.δ ake =  δ abk; так как у них общая гипотенуза ak, и  ∠ kae = ∠ kab; => ab = ae;   => ae/ec = m =  ab/(ac - ab) = (ab/ac)/(1 - (ab/ac)); ab/ac = m/(m+1); курсив можно не читать. начиная с этого момента (то есть, как только найдено отношение катета к гипотенузе), решать уже можно как угодно. к примеру, это можно сделать так. высота в прямоугольном треугольнике делит его на два, которые подобны исходному, и между собой. из этого подобия легко найти,  что нужное отношение x =  (ab/bc)^2 = ab^2/(ac^2 - ab^2) = 1/((ac/ab)^2 - 1) = 1/((m + 1)^2/m^2 - 1) = m^2/(2m + 1);   но для сохранения "стиля" я сделаю вот что : ) между прочим, дальнейшие действия трудно описать коротко, но на самом деле это один, и короткий шажок. пусть р - такая точка на гипотенузе ac, что pk ii ab; => ap/pc = bk/kc; δ pkc подобен исходному  δ abc, и в нем ke - высота к гипотенузе. то есть нужное  отношение (решение )  равно pe/ec = x; (это - главный "шажок") по свойству биссектрисы ab/ac = bk/kc; => ap/pc = ab/ac = m/(m+1); (ae - pe)/(ec + pe) = m/(m  +  1);   (m - pe/ec)/(1 + pe/ec) = m/(m + 1); (m - x)/(1 + x) = m/(m + 1); откуда и находится x = m^2/(2m+1);