Висота прямокутного трикутника проведена з вершини прямого кута утворює з одним із катетів кут 40 градусів знайдітьменший гострий кут трикутника

подробно объясняю.

если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедернная (параллельные прямые отсекают в окружности равные дуги, а равным дугам соответствуют равные хорды. то есть боковые стороны трапеции равны.

если вокруг трапеции можно описать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (это следует из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки. каждая сторона равна сумме 2 таких отрезков. а суммы противоположных сторон равны сумме всех 4 разлиных отрезков касательных , проведенных из 4 различных вершин. кстати, это работает не только на трапеции, но и на любом четырехугольнике, в который можно вписать окружность.) 

поэтому боковая сторона равна полусумме оснований.

а радиус вписанной окружности равен половине высоты (это уже совсем просто - окружность между 2 параллельными касательными).

осталось найти высоту.

опустим перпендикуляр из вершины основания b на а. расстояние от ближайшего конца а до основания этого перпендикуляра будет (a - b)/2;  

мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 2*r,  (a - b)/2,  (a + b)/2;

находим отсюда r по теореме пифагора.

4*r^2 = (a+b)^2/4 - (a-b)^2/4 = a*b;

r = корень(a*b)/2;