Алгебра 586 есеп, Г.Н. Солтан

1) найдем общее решение однородного уравнения: y''+4y=0 характеристическое уравнение: k²+4=0 k²=-4 k=+-√(-4)=+-√4i²=+-2i k=α+-β*i α=0      β=2 общее решение однородного ду имеет вид: у.оо=exp(αx)*(c1*cos(βx)+c2*sin(βx))= =exp(0)*(c1*cos(2x)+c2*sin(2x))= =c1*cos(2x)+c2*sin(2x) 2) найдем частное решение неоднородного уравнения правая часть имеет вид: f(x)=3x*cos2x=exp(0*x)*((ax+b)*cos2x+(cx+d)*sin2x) т.к. k=α+βi=2i является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение ищем в виде: у.чн=x*((ax+b)*cos2x+(cx+d)*sin2x))=(ax²+bx)*cos2x+(cx²+dx)*sin2x у.чн'=(a²x+bx)'*cos2x+(ax²+bx)*(cos2x)'+(cx²+dx)'*sin2x+(cx²+dx)*(sin2x)'= =(2ax+b)*cos2x+(ax²+bx)*(-2)*sin2x+(2cx+d)*sin2x+(cx²+dx)*2cos2x= =(2ax+b+2cx²+2dx)*cos2x+(-2ax²-2bx+2cx+d)*sin2x у.чн''=(2ax+b+2cx²+2dx)' *cos2x+(2ax+b+2cx²+2dx)*(cos2x)'+(-2ax²-2bx+2cx+d)'*sin2x+(-2ax²-2bx+2cx+d)*(sin2x)'= =(2a+4cx+2d)*cos2x+(2ax+b+2cx²+2dx)*(-2)*sin2x+(-4ax-2b+2c)*sin2x+(-2ax²-2bx+2cx+d)*2cos2x= =(2a+4cx+2d-4ax²-4bx+4cx+2d)*cos2x+ +(-4ax-2b-4cx²-4dx-4ax-2b+2c)*sin2x= =(2a+8cx+4d-4ax²-4bx)*cos2x+(-8ax-4b-4cx²-4dx+2c)*sin2x подставим в исходное уравнение: (2a+8cx+4d-4ax²-4bx)*cos2x+(-8ax-4b-4cx²-4dx+2c)*sin2x+ +(4ax²+4bx)*cos2x+(4cx²+4dx)*sin2x=3x*cos2x (2a+8cx+4d)*cos2x+(-8ax-4b+2c)*sin2x=3x*cos2x х*cos2x:   8c=3  c=3/8 cos2x:   2a+4d=0    ⇒  a=-2d x*sin2x:   -8a=0    ⇒ a=0      sin2x:   -4b+2c=0    ⇒ -2b+c=0    ⇒  b=1/2c=1/2*3/8=3/16  d=0 тогда  у.чн=3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x 3) найдем общее решение неоднородного уравнения: у.он=у.оо+у.чн= =c1*cos(2x)+c2*sin(2x)+3/16x*cos2x+3/8x²*sin2x