На площині дано n точок (n>3), жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що існує трикутник з вершинами в даних точках, який не містить жодної з решти (n-3) точок.

1) угол a = 180 - 30 - 45 = 105

по т.синусов a/sina = b/sinb = c/sinc =>

b = a*sinb/sina = 5/(2*sin105)

c =  a*sinc/sina = 5v2/(2*sin105)

2) по т.косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2abcosc = 12*12+6*6-2*6*12*cos60 = 144+36-144/2 = 108

c = 6v3

по т.синусов a/sina = b/sinb = c/sinc =>

sina = a*sinc/c = 12*v3/(2*6v3) = 1 => уголa = 90 градусов

sinb = b*sinc/c = 6*v3/(2*6v3) = 1/2 =>   уголb = 30 градусов (или b = 180-60-90 = 30)

3)  по т.синусов a/sina = b/sinb = c/sinc =>

sinb = b*sina/a = 5*sin120/12 =  5*cos30/12 =  5*v3/24

sinc = sin(180-120-b) = sin(60-b) = sin(90-30-b) = sin(90-(30+b)) = cos(30+b) =

cos30cosb - sin30sinb = (v3cosb - sinb)/2 = (v3*корень(1-(sinb)^2) - sinb)/2 =

= (3v167 - 5v3)/48

по т.косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2abcosc = 12*12+5*5-2*5*12*cosc = 144+25-120cosc = 169-

4)  по т.косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2abcosc =>

cosc = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) = (4 + 9 - 16) / (2*2*3) = -1/4

cosb = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) = (4 + 16 - 9) / (2*2*4) = 11/16

cosa = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) = (9 + 16 - 4) / (2*3*4) = 21/24