Ответы на вопрос:
Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Доказательство 1 (тригонометрическое):
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }},
где {\displaystyle \ \gamma } — угол треугольника, противолежащий стороне {\displaystyle c}. По теореме косинусов:
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}
Отсюда:
{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}
Значит,
{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.
Замечая, что {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a+c-b=2p-2b}, {\displaystyle c-a+b=2p-2a}, получаем:
{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
Таким образом,
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
ч.т.д.
Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d).
По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:
{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}
Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}}
Замечая, что {\displaystyle b+c-a=2p-2a}, {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a-b+c=2p-2b}, получаем:
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}
Используя основное равенство для площади треугольника {\displaystyle S={\frac {ch}{2}}} и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:
{\displaystyle {\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}
ч.т.д.
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Математика
-
8778058388719.04.2023 19:06
-
Sofia281917.10.2022 02:31
-
lokosso08.04.2021 02:54
-
lainzord23.01.2021 11:36
-
jdhhdd16.06.2023 10:47
-
g0osokin10.07.2020 14:06
-
vyaskin201815.05.2023 22:50
-
Ka4erga300026.11.2020 04:42
-
rsobal45gmailcom01.10.2022 21:56
-
DANIL79NR01.03.2022 01:26
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.