ОЧЕНЬ БАЛЛОВ
1. Прямая СЕ касается окружности с центром А в точке С. Найдите радиус окружности, если СЕ=12 см, АЕ=15 см.
2. Прямая МК является касательной к окружности с центром в точке А. Точка М - точка касания. Радиус окружности равен 8 см, а угол МАК равен 60 градусов. Найдите МК.
3. Угол между хордой РС и диаметром РВ равен 30 градусов. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую РВ в точке D. Докажите, что треугольник DCP равнобедренный.

ответ: №1. R=AC=9     №2. 8√3      №3

Объяснение: №1 Рассмотрим ΔАСЕ-прямоугольный, т.к. радиус АС⊥АЕ (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания). По теореме Пифагора АС²= АЕ²- СЕ²=15²-12²=225-144=81, ⇒ АС-√81=9, нo R= AC=9                                                              №2. Рассмотрим ΔАМК-прямоугольный, т.к. радиус АМ⊥МК (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).  ∠МКА=90°-60°=30°, ⇒АК=8·2=16 (по св-ву катета, лежащего против угла в 30°. По теореме Пифагора МК²= АК²-АМ²=16²-8²=256-64=192, ⇒МК=√192= 8√3

№3.   Выполним рисунок СР-хорда, РВ-диаметр, Касательная СД∩РВ=Д (точка Длежит вне окружности). Проведём радиус ОС, тогда ОС⊥СД (касательная⊥радиусу, проведённому в точку касания).  Рассмотрим ΔСОР-равнобедр, т.к. СО=РО=R,⇒∠ОСР=∠СРО=30°⇒∠СОР=180°°-(30°°+30°)=120°. Тогда в прямоугольном Δ ДОС ∠ СОД=180°-120°=60°, ⇒∠СДО=90°-60°°=30°. Получим, что в ΔДСР есть два равных угла: ∠СДО=∠СРО=30°⇒⇒ΔДСР-равнобедренный, чтд