ABCDA1B1C1D1 – куб, АВ = 2а, N – середина ребра ВС. Найдите угол между прямыми B1D и AN.

Прямые АР и B1D - скрещивающиеся, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются.

Цитаты: "Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся".

Построение:

Проведем прямую КL через точку D параллельно АР.

В точках пересечения этой прямой с продолжениями ребер ВА и ВС получим точки L и K соответственно. Соединив точки К, В1 и L, получим сечение КВ1L, параллельное прямой АР. Таким образом, искомое расстояние - это расстояние от прямой АР до плоскости КВ1L, а искомый угол - угол KDB1.

Проведем DO⊥РA до пересечения с ребром АВ а точке М.

Из точки М восстановим перпендикуляр МТ до пересечения с линией

сечения ВL. Тогда плоскость DTM перпендикулярна плоскости основания и плоскости сечения, а перпендикуляр ОН в прямоугольном треугольнике DQO - искомое расстояние между прямыми B1D и АР.

б) Угол KDB1 - искомый угол между прямыми B1D и АР.

KB=3a. KB1=√(KB²+BB1²)=√(9a²+4a²)=a√13.

DB1=2a√3.  KD=√(KC²+DC²)=√(a²+4a²)=a√5.

По теореме косинусов:

Cosα=(KD²+DB1²-KB1²)/(2*KD*DB1).

Cosα=(5a²+12a²-13a²)/(2*a√5*2a√3)=1/√15.

ответ: угол α=arccos(1/√15). α ≈ 75

Пошаговое объяснение:

Прямые АР и B1D - скрещивающиеся, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются.

Цитаты: "Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся".

Построение:

Проведем прямую КL через точку D параллельно АР.

В точках пересечения этой прямой с продолжениями ребер ВА и ВС получим точки L и K соответственно. Соединив точки К, В1 и L, получим сечение КВ1L, параллельное прямой АР. Таким образом, искомое расстояние - это расстояние от прямой АР до плоскости КВ1L, а искомый угол - угол KDB1.

Проведем DO⊥РA до пересечения с ребром АВ а точке М.

Из точки М восстановим перпендикуляр МТ до пересечения с линией

сечения ВL. Тогда плоскость DTM перпендикулярна плоскости основания и плоскости сечения, а перпендикуляр ОН в прямоугольном треугольнике DQO - искомое расстояние между прямыми B1D и АР.

а) По условию:

Из треугольников АРВ, DCB и DBB1 по Пифагору:

AP=a√5, DB=2a√2, DB1=2a√3.

Из подобия треугольников NPB и NAD:

BN/ND=PN/NA=PB/DA=1/2.

DN=(2/3)*DB=4a√2/3.

AN=(2/3)AP=2a√5/3.

Площадь треугольника ADN:

Sadn=(1/2)*DN*DA*Sin45. Или Sadn=4a²/3.

Sadn=(1/2)*AN*DO, отсюда DO=2S/AN=4a/√5.

OA=√(DA²-DO²)=√(4a²-16a²/5)=√[(20a²-16a²)/5]=2a/√5.

ΔDAO~ΔAOM, так как <OAM=<AMO (соответтвенные стороны взаимно перпендикулярны: АМ⊥AD и MO⊥AO). Тогда

AM/DA=AO/DO, AM=DA*AO/DO=a, и АМ=МВ=а   =>  DM=AP=a√5.

DK(KL)║AP по построению.

Треугольник PBN подобен ΔKBD, а ΔBNA подобен ΔDBL  и  

BP/BK=BN/BD=1/3.

BK=3a. BL=6a.  AL=4a.  LM=5a.

ΔLMT подобен ΔLBB1.

MT/BB1=LM/LB, MT=LM*BB1/LB.

MT=5a*2a/6a=5a/3.

DM/DO=MT/OQ.

OQ=MT*DO/DM=(5a/3)*(4a/√5)/a√5=4a/3.

DQ=√(DO²+OQ²)=√(16a²/5+16a²/9)=4a√14/(3√5).

ОН=DO*OQ/DQ или ОН=(4a/√5)*(4a/3)/[4a√14/(3√5)]=4a/√14=2a√14/7.

ответ: расстояние равно 2a√14/7.

б) Угол KDB1 - искомый угол между прямыми B1D и АР.

KB=3a. KB1=√(KB²+BB1²)=√(9a²+4a²)=a√13.

DB1=2a√3.  KD=√(KC²+DC²)=√(a²+4a²)=a√5.

По теореме косинусов:

Cosα=(KD²+DB1²-KB1²)/(2*KD*DB1).

Cosα=(5a²+12a²-13a²)/(2*a√5*2a√3)=1/√15.

ответ: угол α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.

Координатный метод:

Поместим начало координат в вершину А.

Вектор АР{2a;a;0},  |AP|=√(4a²+a²+0)=a√5.

Вектор B1D{-2a;2a;-2a},  |В1D|=√(4a²+4a²+4a²)=a√12=2a√3.

cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]

cosα=(-4a²+2a²+0)/(a√5*2a√3]=-2a²/2a²√15= -1/√15.

ответ: α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.

Имеем точки А и D и направляющие вектора прямых B1D и АР:

А(0;0;0); n1{2a;a;0} (1) и D(0;2a;0); n2{-2a;2a;-2a}.

Есть формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:

d(a;b)=|(n1*n2*M1M2)|/|n1*n2| где произведения - это произведения векторов, а М1 и М2 - произвольные точки этих прямых - в нашем случае точки А и D.

Находим смешанное произведение векторов:

(n1*n2*M1M2)=|2a -2a  0|

                        |a   2a 2a|

                        |0  -2a  0|  = 2a(4a²)-a*0-0*4a=8a³.

Произведение векторов n1 и n2:

n1*n2=| i     j    k  |

          | 2a a    0  |

          |-2a 2a -2a| = i(-2a²-0)-j(-4a²)+k(4a²+2a²) = -2a²i+4a²j+6a²k.

Модуль |n1n2|=√(4a+16a+36a)=a²√56.

Тогда искомое расстояние равно 8a³/a²√56 =a*4/√14=2a√14/7.

Пошаговое объяснение: