100 БАЛЛОВ

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6. Двугранный угол при стороне основания равен 60 градусам. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. Найти площадь поверхности пирамиды и расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.

Сделаем рисунок.

Основание высоты правильной треугольной пирамиды - точка пересечения высот основания, или. иначе, центр вписанной в правильный треугольник окружности. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей ее основания и трех боковых граней. Площадь основания правильного треугольника находят по формуле

S=(a²√3):4

Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники.

Площадь боковой грани - половина произведение ее высоты на сторону основания.

S грани=аh:2

Двугранный угол при стороне основания  равен линейному углу между апофемой МН   и высотой АН основания. 

АВ=ВС=АС=АН:sin (60º)=6:[(√3):2]=4√3

S осн=(4√3)²√3):4=(16*3*√3):4=12√3 см²

Апофема МН, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника МОН, равна ОН√2

ОН=АН:3=2 см

МН=2√2

Sбок= 3*МН*ВС:2=(3*2√2)*4√3):2

Sбок=12√6

S полн=S осн+Sбок=12√3 см²+12√6=12√3(1+√2)=≈50,178 см²

Вернемся к рисунку. 

Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани -перпендикуляр от вершины, проведенный к плоскости боковой грани.

Ясно, что расстояния от любой вершины осноания до противоположной ей грани равны. Найдем расстояние от вершины В до плоскости грани АМС.

ЕМ - высота треугольника АМС. 

Искомым расстоянием будет перпендикуляр ВК к проекции высоты ВЕ основания на плоскость АМС, т.е. к прямой ЕМ. 

Так как двугранный угол у основания равен 45º, то треугольник ЕКВ -  прямоугольный и равнобедренный.

Искомое расстояние

КВ=ВЕ*sin(45º )=6√2):2=3√2 см