Конспект по теме Описанная и вписанная окружности треугольника.
20 баллов

1. Окружность, описанная около треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Её центр лежит на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство. Точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника равно удалена от его вершин (доказано нами в 7 классе). Поэтому она является центром описанной окружности, расстояние от этой точки до любой из вершин равно радиусу.

Если существует ещё одна описанная окружность, то её центр равно удалён от всех трёх вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения срединных перпендикуляров, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

2. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника.

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство. Мы знаем, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (доказано нами в 7 классе). Поэтому середина гипотенузы является центром описанной окружности, а её радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2.

3. Окружность, вписанная в треугольник.

Окружность называется вписанной в треугольник, ест она касается всех сторон треугольника.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Её центр лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Доказательство. Точка пересечения биссектрис треугольника равно удалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной.

Если существует ещё одна вписанная окружность, то её центр равно удалён от всех трёх сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

4. Формула площади S = рr.

Теорема. Площадь треугольника S = рr, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника, стороны которого равны а, b и с. Получим три треугольника, для которых радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь данного треугольника равна сумме площадей этих треугольников:

где p — полупериметр треугольника.

Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника. Доказательство аналогично.

5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2.

Доказательство. Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b. Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков (a – r) и (b – r). Так как с = (а – r) + (b – r), то r = (а + b – c)/2.

6. Свойство вписанного четырехугольника.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°.

Доказательство. Противоположные углы α и β являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов α и β равна 180°.

7. Признак вписанного четырехугольника.

Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Доказательство. Через три вершины четырехугольника всегда можно провести окружность (это вершины некоторого треугольника). Если четвёртая вершина будет лежать внутри окружности или вне её, то угол при этой вершине будет больше или меньше угла β, по свойству внешнего угла треугольника, т. е. 1 < β < 2. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника не будет равна 180°. Поэтому четвёртая вершина такого четырехугольника обязана лежать на окружности.

8. Свойство вписанной трапеции.

Теорема. Вписанная трапеция является равнобедренной.

Доказательство. 1-й как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей, ∠3 + ∠2 = 180° по свойству вписанного четырехугольника. Тогда ∠1 = ∠3 и трапеция равнобедренная по признаку равнобедренной трапеции.

2-й Параллельные прямые отсекают равные дуги. Равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому боковые стороны трапеции равны.

Формула нахождения координат точки С по оси абсцисс и по оси ординат:

С(х) = [А(х) + В(х)]/2 = [-3 + 5]/2 = 1

С(у) = [А(у) + В(у)]/2 = [-2 +(-4)]/2 = -3

ответ: (1; -3).