Дослідити функцію в побудувати її графік
х^3-3х^2+4

Пошаговое объяснение:

1) Область определения:

D(y)=(-∞;+∞);

2) Находим производную функции

y`=(-x³-3x²+4)`=(-x³)`+(-3x²)`+(4)`=-3x²-6x;

3) Находим точки возможных экстремумов, т.е точки, в которых производная равна 0.

у`=0

-3x²-6x=0;

-3x(x+2)=0;

x=0  или   х= - 2

4) Применяем достаточное условие экстремума, находим знаки производной слева и справа от этих точек:

____-___(-2)___+___(0)___-___

х=-2 - точка минимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +.

х=0- точка максимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с + на -.

у(-2)=-(-2)³-3·(-2)²+4=-(-8)-3·4+4=8-12+4=0

у(0)=0³-3·0²+4=4

(-2;0)- точка локального минимума

(0;4)- точка локального максимума

4) Нули функции:

точки пересечения с осью ох.

у=0

-х³-3х²+4=0;

-х³+1-3х²+3=0;

-(х³-1)-3(х²-1)=0

(х-1)(-х²-х-1-3)=0

х-1=0     или  -х²-х-4=0

x=1                 х²+х+4=0

                      D=1-16<0  уравнение не имеет корней

(1;0)- точка пересечения с осью ох.

5) Точка пересечения с осью оу (0;4)

6) Дополнительные точки

х=2       у=-2²-3·2²+4=-16

х=-1      у=-(-1)³-3·(-1)²+4=2

х=-3      у=-(-3)³-3·(-3)²+4=27-27+4=4