Число 10 разложите на два слагаемых так,чтобы сумма их кубов была наименьшей

первое число обозначим х, тогда второе 10 - х. сумма кубов:

y = x^3 + (10-x)^3 = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3 = 30x^2 - 300x + 1000

минимальной эта сумма будет тогда, когда производная равна 0. так как первый коэффициент параболы положительный, то ветви направлены вверх, а значит, вершина - это минимум.

y ' = 60x - 300 = 0

60x = 300; x = 300/60 = 5; 10-x = 5.

сумма кубов будет наименьшей, когда числа равны друг другу и равны 5.

x - первое число ; ( 10 -x ) - второе ,   y =   x³ + (10 -x )³ - сумма кубов

x ∈ [0 ; 10 ] ; y ' = 3x² - 3 (10 -x )² = 3 ( x-10 +x )· (x + 10 -x ) = 60·(x-5)  

y ' = 0 ⇔ x = 5 ,   при переходе через точку 5 производная

меняет свой знак с   -   на   +   ⇒   5 -точка минимума функции   и

так как она единственная точка минимума на отрезке [0 ; 10]

(слева   от точки   5 функция убывает , а справа возрастает ) , 

то в этой точке   функция достигает наименьшее значение   ⇒

сумма кубов наименьшая ,   если числа равны   5

ответ : оба слагаемые равны 5