(58 балла) Знайти висоту трикутника АВС проведену до найбільшої

сторони та його площу, якщо A(1;-1;2), B(4;2;-1),С(1;5;2)

Находим длины сторон:

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 9      9 9 27 = 5,196152.

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²) = 9 9 9 27 = 5,196152.

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 0 36 0 36  =  6

Определяем площадь треугольника по формуле Герона.

Периметр АВС  Р = 16,39230485 p - a          p - b   p - c

Полупериметр р=  8,1962                     3          2,196      3

 S = √162 ≈ 12,728.  

Теперь находим высоту по формуле:

h = 2S/AC = (2*12,728)/6 = 4,243.

ВН = 3√2 ед.

Sabc = 9√2 ед².

Объяснение:

Найдем стороны треугольника:

|AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²+(Zb-Za)²) = √(3²+3²+3²) = 3√3 ед.

|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²+(Zc-Zb)²) = √(-3)²+3²+3²) = 3√3 ед.

|AC| = √((Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²+(Zc-Za)²) = √(0²+6²+0²) = 6 ед.

Высота, проведенная к большей стороне, это высота ВН к стороне АС, то есть, к основанию.

Треугольник равнобедренный с основанием АС. Его высота, проведенная к основанию, является и медианой. Пусть основание этой высоты - точка Н. Тогда координаты точки Н найдем из формулы: Xh = (Xa+Xc)/2  = (1+1)/2 = 1.

Yh = (Ya+Yc)/2 =  (-1+5)/2 = 2.

Zh = (Za+Zc)/2 = (2+2)/2 = 2.

Высота ВН равна |ВH| = √((Xh-Xb)²+(Yh-Yb)²+(Zh-Zb)²). Или

|BH| = √((-3)²+0²+3²) = √18 = 3√2 ед.

Площадь треугольника АВС равна

Sabc = (1/2)·AC·ВH = 9√2 ед².

Проверим: найдем высоту по Пифагору, зная боковую сторону и основание. ВН = √((3√3)² - 3²) = √18 = 3√2 ед.

1) находим катет основания по теореме пифагораа = √(13² - 12²) = √25 = 5 см  2) наименьшая боковая грань - это квадрат на этом катете, значит, высота призмы н = 5 см3) s боковая = роснования * нроснования = 13 + 12 + 5 = 30 смsбоковая = 30см * 5см = 150 см²ответ: sбоковая = 150 см²