Найдите значение выражения

Прогрессия последовательность чисел {an} называется прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем прогрессии. таким образом, для всех членов прогрессии. предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1. любой член прогрессии можно вычислить по формуле: сумма первых n членов прогрессии определяется выражением говорят, что бесконечная прогрессия сходится, если предел существует и конечен. в противном случае прогрессия расходится. пусть представляет собой бесконечный ряд прогрессии. данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1. пример 1 найти сумму первых 8 членов прогрессии 3, 6, 12, .. решение. здесь a1 = 3 и q = 2. для n = 8 получаем пример 2 найти сумму ряда . решение. данный ряд является бесконечной прогрессией со знаменателем q = − 0,37. следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна пример 3 найти сумму ряда решение. здесь мы имеем дело с конечной прогрессией, знаменатель которой равен . поскольку сумма прогрессии выражается формулой то получаем следующий результат: пример 4 выразить бесконечную периодическую дробь 0, рациональным числом. решение. запишем периодическую дробь в следующем виде: используя формулу суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем, получаем пример 5 показать, что при условии x > 1. решение. очевидно, что если x > 1, то . тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей прогрессии. используя формулу, левую часть можно записать в виде что доказывает исходное соотношение. пример 6 решить уравнение решение. запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей прогрессии: тогда уравнение принимает вид находим корни квадратного уравнения: поскольку |x| < 1, то решением будет . пример 7 известно, что второй член бесконечно убывающей прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. найти первый член и знаменатель прогрессии. решение. используем формулу бесконечно убывающей прогрессии