НЕРАВЕНСТВО!!!
Нужно найти совокупность, которую получили при решении неравенства
60 БАЛЛОВ

an  -  bn  = (a  -  b)(an-1  +  an-2b  + +  abn-2  +  bn-1)     (n  î  n),a2n+1  +  b2n+1  = (a  +  b)(a2n  -  a2n-1b  + -  ab2n-1  +  b2n)     (n  î  ньютона)где  n  î  n,               n! = 1·2·3··n,     0! = 1.

ii. свойства степеней

следующие свойства справедливы для любых положительных чисел  a  и  b  и любых действительных чисел  a  и  b.

a0  = 1; aa  +  b  =  aa  ·  ab; (aa)b  =  aab; (ab)a  =  aa  ·  ba;

замечание 1.  отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида    где  m  - целое,  n  - натуральное).

замечание 2.  0a  = 0, для любого  a  > 0.

iii. свойства радикалов

    если  a  ≥ 0,     b  ≥ 0,     k  î  n,    если  ab  ≥ 0,     k  î  n.    где  a  ≥ 0, если  m  - четно,  a  î  r, если  m  - нечетно.    где  a  ≥ 0,     b  > 0,     n  - четно или  b  ≠ 0,  a  î  r, если  n  - нечетно.    где  a  ≥ 0, если  m  - четно или  n  четно,  a  î  r, если  m·n  - нечетно.    где  a  > 0,  b  > 0,  c  > 0 и  a2  ≥  b2c.

пример 1.  определить  одз  выражений:

решение.  a)  одз  данного выражения определяется из неравенства  x  +  x2  - 2x3  ≥ 0, которое решаем при метода интервалов:

x  +  x2  - 2x3  ≥ 0     û      x(1 +  x  - 2x2) ≥ 0     û      x(2x  + 1)(1 -  x) ≥ 0     û      x  î  (-¥; -1/2]è[0; 1].

таким образом,  d(e) = (-¥; -1/2]è[0; 1].

b) отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда

x2  +  y  ≠ 0,|x  -  y| ≠ 0,x  +  y  ≠ 0, откуда следует, что  d(e) = {(x,y )   |    x   ≠  y ,     x   ≠ -y}.

c) так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения  одз  получим систему

b  +  c  ≠ 0,b2c  +  c2b  ≠ 0,d  ≥ 0,    û    b  +  c  ≠ 0,bc(b  +  c) ≠ 0,d  ≥ 0,    û    b  +  c  ≠ 0,b  ≠ 0,c  ≠ 0,d  ≥ 0.

таким образом,  одз  исходного выражения равна {(a,b,c,d)   |    b  +  c  ≠ 0,     b  ≠ 0,     c  ≠ 0,     d≥ 0}.

пример 2.  определить, являются ли выражения  a  и  b  тождественно равными на множестве  m.

решение.  a) так как                      на множествеm, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:

условие  a   >   b   > 0 влечет    и, следовательно,    отсюда получаем, что    таким образом, выражения  a   и  b тождественно равны на множестве  m.

b) подобно предыдущему примеру

при преобразованиях учитывается, что, если    то  , и 

пример 3.  выражения:

решение.  одз  выражения определяется из системы    решая которую, получим  b  ≥ 2.

выполним равносильные на  одз  преобразования:

так как на  одз  , следовательно,    таким образом, при  b   ≥ 2 исходное выражение равно 

b)  одз  данного выражения является множество {(m,n)   |    m  ≥ 0,     n  ≥ 0,     m  ≠  n}. обозначив          получим          m  =  a6  и              n  =  b6  выражение принимает вид

таким образом, исходное выражение на  одз   тождественно равно 

c) на  одз:   {(a,b,c)   |    a  ≥ 0,  b  ≥ 0,  c  ≥ 0,  a2  +  c2  ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:

d)  одз  данного выражения является множество {(a,b,c)   |    a  ≠  b,  a  ≠  c,  b  ≠  c}. приводя выражение к общему знаменателю, получим:

учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:

a3(c  -  b) +  b3(a  -  c) +  c3(b  -  a) =  c(a3  -  b3) +  ab(b2  -  a2) +  c3(b  -  a) == (a  -  b)(c(a2  +  ab  +  b2) -  ab(a  +  b) -  c3) = (a  -  b)(c(a2  -  c2) +  ab(c  -  a) +  b2(c  -  a)) == (b  -  c)(a  -    -  a2c  +  c2(a  +  b)) = (a  -  b)(b  -  c)(b(c2  -  a2) +  ac(c  -  a)) == (a  -  b)(b  -  c)(c  -  a)(ab  +  bc  +  ca).

следовательно, на  одз  исходное выражение тождественно равно  ab  +  bc  +  ca.

f)  одз  выражения является множество {(x,y,z)   |    x  ≠  y,  y  ≠  z,  z  ≠  x}. первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:

аналогично преобразуются и другие слагаемые: следовательно,

g)  одз  выражения равна  r\{-2; 0; 3}. учитывая, что выражение содержит |m| и |m  - 3|, рассмотрим три случая:

пусть  m  î  (-¥; -2)è(-2; 0); тогда |m| = -m,   |m  - 3| = -(m  - 3), и выражение принимает видпусть  m  î  (0; 3); тогда |m| =  m,   |m  - 3| = -(m  - 3), и выражение принимаетпусть  m  î  (3; +¥); тогда |m| =  m, |m  - 3| =  m  - 3 и выражение принимает вид

таким образом,

пример 4.  разложить на множители:

a) (x  +  y)(y  +  z)(z  +  x) -  xyz; b)  x3  +  y3  +  z3  - 3xyz; c)  x8  +  x7  +  x6  +  x5  +  x4  +  x3  +  x2  +  x  + 1; d)  x5  +  x  + 1.

решение.  a) прибавляя и вычитая  z(y  +  z)(z  +  x), а затем группируя удобным образом, получим:

(x  +  y)(y  +  z)(z  +  x) +  z(y  +  z)(z  +  x) -  z(y  +  z)(z  +  x) -  xyz  == (y  +  z)(z  +  x)(x  +  y  +  z) -  z((y  +  z)(z  +  x) -  xy) == (y  +  z)(z  +  x)(x  +  y  +  z) -  z(z2  +  yz  +  zx) == (y  +  z)(z  +  x)(x  +  y  +  z) -  z2(x  +  y  +  z) == (x  +  y  +    +  z)(z  +  x) -  z2) = (x  +  y  +  z)(xy  +  yz  +  zx).

b) применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему

x3  +  y3  +  z3  - 3xyz  = (x  +  y)(x2  -  xy  +  y2) +  z(z2  - 3xy) == (x  +  y  +  z)(x2  -  xy  +  y2) +  z(z2  - 3xy  -  x2  +  xy  -  y2) == (x  +  y  +  z)(x2  -  xy  +  y2) +  z(z2  - (x  +  y)2) == (x  +  y  +  z)(x2  -  xy  +  y2  +  z(z  -  x  -  y)) == (x  +  y  +  z)(x2  +  y2  +  z2  -  xy  -  xz  -  yz).

c) применяя формулы сокращенного умножения, получим:

d)       x5  +  x  + 1 = 1 +  x  +  x2  -  x2  +  x5  = 1 +  x  +  x2  -  x2(1 -  x3) = (1 +  x  +  x2) -  x2(1 -  x)(1 +  x  +x2) = (1 +  x  +  x2)(1 -  x2(1 -  x)) = (1 +  x  +  x2)(1 -  x2  +  x3).