В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30◦. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) площадь полной поверхности пирамиды.
С чертежом.

Решение смотрите во вложении.

/√3 ⇒ KO =CO/√3 =CO√3 /3= 4√6 /3 (см).

-------

KC =2*KO =8√6 /3

-------

Sпол  = Sосн +

Дано:

KABCD _правильная четырехугольная пирамида  

(K_вершина , квадрат ABCD _основание

AB=BC=CD =DA = a =8 см  ;

KO_ высота  ;  KO⊥ пл.(ABCD)

∡KCO = 30°                                                                                                            ------------------------

а) KO = h - ?                               4√6 /3  см .

б) KA = KB =KC =KD = b - ?      8√6 /3   см .

в) S пол - ?                                64(3 +√15) / 3  

AC =a√2  ; CO =AO = AC/2 =a√2 /2  = 8√2 / 2 = 4√2 ( см) .

В  ΔKOC:    KO = KC/2 (катет против угля 30°) ⇒ KC = 2*KO    =2h

(2*h)²- h² =CO² ⇔ h = CO√3 /3  = 4√2√3 / 3 = 4√6 /3  

KO = h= 4√6 /3  (см) .

KC = 2*KO = 8√6 / 3  (см)

-------

Sпол = Sосн + Sбок

Sосн = a² = 8² см² =64  см²

Sбок =4*S(ΔKCD) =4*a*KM/2 =2a*KM =16*KM

KM =√ (KC² -(a/2)²)  =√( (8√6 /3)² - 4² ) =√( (64*6/9  - 16 ) =4√15 /3.

Sбок  =64√15 / 3

Sпол =64 +64√15 / 3 = 64(3 +√15) / 3